3^{\text {a }} ) Seja U=\left\{A \in M_{2} ; \operatorname{tr}(A)=0\right\} e W=\left\{A \in M_{2} ; A^{t}=-A\right\} subespaço de V=M_{2}, onde \operatorname{tr}(A) é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A, chamado de traço de A. Determine uma base e a dimensão de U, W, U+W e U \cap W.

Passo 1

O enunciado define em V = M_{2}(\mathbb{R}) dois subespaços:
U = \{A\in M_{2} : \operatorname{tr}(A)=0\},
W = \{A\in M_{2} : A^{t}=-A\}.
Queremos encontrar uma base e a dimensão de U, W, U+W e U\cap W. Para isso usaremos a representação genérica de matrizes em M_{2} e as condições \operatorname{tr}(A)=0 e A^{t}=-A.

Passo 2

Determinar U. Escrevendo a matriz genérica
A = \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
a condição \operatorname{tr}(A)=0 é
a + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -a.
Logo
U = \left\{\begin{pmatrix} a & b \\\ c & -a \end{pmatrix} : a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.
Isso mostra que \dim(U)=3 e uma base pode ser, por exemplo,
B_{U}=\left\{ \underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix}}_{E_{1}}, \underbrace{\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}}_{E_{2}}, \underbrace{\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}}_{E_{3}} \right\}.

Passo 3

Determinar W. A condição A^{t}=-A implica
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}^{t} = \begin{pmatrix} a & c \\\ b & d \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}
\Longrightarrow a = -a,\quad d = -d,\quad c = -b
\Longrightarrow a=d=0,\;c=-b.
Então
W = \left\{\begin{pmatrix} 0 & t \\\\ -t & 0 \end{pmatrix}:t\in\mathbb{R}\right\},
o que dá \dim(W)=1 e base
B_{W} = \left\{\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix}\right\}.

Passo 4

Calcular U\cap W. Como toda matriz em W tem traço zero (soma dos elementos diagonais 0+0=0), temos W\subset U. Logo
U\cap W = W,
portanto \dim(U\cap W)=1 e uma base é igual a B_{W}.

Passo 5

Calcular U+W. Novamente, como W\subset U, a soma é
U+W = U,
logo \dim(U+W)=\dim(U)=3 e uma base é B_{U}.

Resposta

U: base \displaystyle B_{U}=\Bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}\Bigr\}, \dim(U)=3. W: base \displaystyle B_{W}=\Bigl\{\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix}\Bigr\}, \dim(W)=1. U\cap W = W: mesma base de W, \dim(U\cap W)=1. U+W = U: mesma base de U, \dim(U+W)=3.

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