W1=f in F([-1,1] ; R): f(-x)=f(x) para todo x W2=f in F([-1,1] ; R): f(-x)=-f(x) para todo x
(a) Mostre que W1 e W2 são subespaços vetoriais de F([-1,1] ; R).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial F([-1,1];R) e os subconjuntos
W1 = ,fmid f(-x)=f(x)
W2 = ,fmid f(-x)=-f(x).
Queremos mostrar que ambos são subespaços, ou seja, não vazios e fechados em soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que a função nula 0colon[-1,1]toR pertence a ambos. De fato, para todo x
0(-x)=0=0(x),
logo 0inW1, e
0(-x)=0=-0= -0(x),
logo 0inW2. Portanto os dois conjuntos não são vazios.

Passo 3

Fechamento de W1: sejam f,ginW1 e alphainR. Então para todo x
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=alpha,f(x)=(alpha f)(x)
Logo f+ginW1 e alpha finW1.

Passo 4

Fechamento de W2: sejam f,ginW2 e alphainR. Então para todo x
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f+g)(x),
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=alpha(-f(x))=-alpha,f(x)=-(alpha f)(x)
Logo f+ginW2 e alpha finW2.

Resposta

W1 e W2 satisfazem as condições de subespaço em F([-1,1];R).

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