Para cada subconjunto A do espaço vetorial indicado abaixo, verifique que se trata de um subespaço afim e descreva o subespaço vetorial ao qual ele é paralelo:
(c) A subset C^1(R ; R) dado por A=f in C^1(R ; R): f^prime(x)=e^x para todo x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
A=,fin C^1(R;R):f'(x)=e^x forall xinR
é um subespaço afim de C^1(R;R) e determinar o subespaço vetorial Vsubset C^1(R;R) ao qual A é paralelo. Vamos usar a ideia de que um subconjunto A é afim se existe um f0inA e um subespaço vetorial V tais que
A=f0+V

Passo 2

Primeiro, encontramos uma solução particular de f'(x)=e^x. Basta integrar:
f(x)=integral e^x,dx = e^x + C,
onde CinR. Escolhendo C=0, temos a função
f0(x)=e^x
que pertence a A, pois (f0)'(x)=e^x.

Passo 3

Agora, para qualquer finA, sabemos que existe CfinR tal que
f(x)=e^x + Cf
Logo, o “deslocamento” em relação a f0 é
f(x)-f0(x) = (e^x+Cf) - e^x = Cf,
ou seja, uma função constante. Isso mostra que
A = f0 + V
onde
V = ,gin C^1(R;R):g(x)=C constante

Passo 4

Verificamos que V é um subespaço vetorial de C^1(R;R) (soma de constantes dá constante e múltiplo de constante é constante). Portanto A é um subespaço afim paralelo a V.

Resposta

A é o subespaço afim dado por
A = ,e^x + C : CinR,
e o subespaço vetorial ao qual ele é paralelo é
V = ,funções constantes g(x)=C : CinR çõ

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