Para cada subconjunto
do espaço vetorial indicado abaixo, verifique que se trata de um subespaço afim e descreva o subespaço vetorial ao qual ele é paralelo:
(c)
dado por
para todo
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um subespaço afim de e determinar o subespaço vetorial
ao qual
é paralelo. Vamos usar a ideia de que um subconjunto
é afim se existe um
e um subespaço vetorial
tais que
é um subespaço afim de
Passo 2
Primeiro, encontramos uma solução particular de
. Basta integrar:
onde
. Escolhendo
, temos a função
que pertence a
, pois
.
Passo 3
Agora, para qualquer
, sabemos que existe
tal que
Logo, o “deslocamento” em relação a
é
ou seja, uma função constante. Isso mostra que
onde
Passo 4
Verificamos que
é um subespaço vetorial de
(soma de constantes dá constante e múltiplo de constante é constante). Portanto
é um subespaço afim paralelo a
.
Resposta
e o subespaço vetorial ao qual ele é paralelo é