Verdadeiro ou falso:
(a) O sistema linear abaixo possui duas soluções x, y in R^5 que são linearmente independentes.
ccccc e^pi X1 & +raizpi X2 & +ln 10 X3 & -e^3 X5 & =0 pi^4 X1 & +pi^5 X3 & +5 X4 & -raiz2 X5 & =0 -3 X1 & +e^pi X2 & -X3 & +16 X4 & +18 X5 =0

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de três equações lineares em cinco incógnitas (X1,X2,X3,X4,X5). O conteúdo usado será Álgebra Linear, em particular o Teorema do Posto-Nulidade, que relaciona o posto de uma matriz ao dimensionamento do espaço de soluções de Ax=0.

Passo 2

Escrevendo matricialmente temos
A,X = 0,
onde AinR^3times5. Pelo Teorema de Rouché–Capelli, o posto de A satisfaz
rank(A)<=min(3,5)=3

Passo 3

Pelo Teorema do Posto-Nulidade,
dimker(A) = 5 - rank(A) >= 5 - 3 = 2
Isto significa que o espaço de soluções tem dimensão pelo menos 2, ou seja, existem pelo menos duas soluções não-triviais linearmente independentes.

Resposta

Verdadeiro.

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