[I]alpha^beta=[lll 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 1 & 3 & 2 ]
Encontre o polinômio p(X) in mathscrP2 tal que [p(X)]beta=(-1,1,-1)^top.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de mudança de base
que leva as coordenadas de um polinômio na base canônica para as coordenadas na base . Queremos achar tal que
Seja
então vale

Passo 2

Escrevemos o sistema linear correspondente:
Da segunda linha vem
Da terceira linha vem
Substituindo nessa última equação:
Então

Passo 3

Agora usamos a primeira linha:
2a0 + 3a1 + 2a2 = -1
Substituindo a0 = 5 + a2 e a1 = -2 - a2,
2(5 + a2) + 3(-2 - a2) + 2a2 = -1 Longrightarrow 10 + 2a2 -6 -3a2 +2a2 = -1 Longrightarrow a2 = -5
Logo
a1 = -2 -(-5) = 3, a0 = 5 +(-5) = 0

Resposta

O polinômio procurado é
p(X) = a0 + a1X + a2X^2 = 0 + 3X -5X^2 = 3X - 5X^2

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