Para cada subconjunto W do espaço vetorial indicado abaixo, decida se W é um subespaço vetorial:
(h) O conjunto W subset Mn times n(R) formado pelas matrizes anti-simétricas (i.e., W= A in Mn times n(R): A^top=-A).

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial Mn times n(R) e define
W = A in Mn times n(R) : A^top = -A
O conteúdo é subespaços vetoriais, e para mostrar que W é subespaço basta verificar três propriedades: contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero 0 pertence a W. De fato,
0^top = 0 = -0,
logo 0inW.

Passo 3

Mostramos fechamento sob soma. Se A,BinW, então A^top=-A e B^top=-B. Logo,
(A+B)^top = A^top + B^top = -A - B = -(A+B),
então A+BinW.

Passo 4

Mostramos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e AinW. Então
(lambda A)^top = lambda,A^top = lambda(-A) = -(lambda A),
logo lambda AinW.

Passo 5

Como W contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é de fato um subespaço vetorial de Mn times n(R).

Resposta

W é um subespaço vetorial de Mn times n(R).

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