[1.] Utilize o método de “variação de parâmetros” para EDOs escalares de primeira ordem, para encontrar as soluções da EDO,
u^{\prime}+2 u=4 \quad \text { em } \quad I \subseteq \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
u' + 2u = 4 \quad \text{em} \quad I \subseteq \mathbb{R},
e pede para encontrar as soluções usando o método de variação de parâmetros (variação da constante).
Informações dadas:
  • A equação é linear, não-homogênea, de primeira ordem.
  • O coeficiente na frente de u é constante igual a 2.
  • O termo de não-homogeneidade (lado direito) é a constante 4.

Passo 2

Colocar a EDO na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
u' + p(x)\,u = q(x).
Aqui, comparando, temos
p(x)=2,\qquad q(x)=4,
ou seja, p e q são funções constantes. Explicação curta do que isso significa: p(x) é o coeficiente multiplicando u e q(x) é o termo que “força” a equação (não-homogeneidade).

Passo 3

Resolver primeiro a equação homogênea associada
u' + 2u = 0.
Isto é uma equação separável; escrevemos
\frac{u'}{u} = -2.
Integrando ambos os lados em relação a x,
\int \frac{u'}{u}\,dx = \int -2\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|u| = -2x + C_1.
Exponenciando,
u = C e^{-2x},
onde C é uma constante arbitrária ( C=\pm e^{C_1}). Esse é o conjunto de soluções da homogênea, que chamarei de solução fundamental u_h(x)=C e^{-2x}.

Passo 4

Ideia do método de variação de parâmetros (variação da constante): permitir que a constante C da solução homogênea torne-se uma função v(x). Assim procuramos uma solução particular da forma
u(x)=v(x)\,e^{-2x}.
A intuição: a família C e^{-2x} resolve a homogênea; deixando C variar com x tentamos acomodar a não-homogeneidade q(x)=4.

Passo 5

Calcular a derivada de u por regra do produto e substituir na EDO. Pela regra do produto,
u' = v' e^{-2x} + v (e^{-2x})' = v' e^{-2x} - 2v e^{-2x}.
Substituindo em u' + 2u = 4:
\bigl(v' e^{-2x} - 2v e^{-2x}\bigr) + 2\bigl(v e^{-2x}\bigr) = 4.
Os termos com v cancelam:
v' e^{-2x} = 4.
Isto é uma equação simples para v'.

Passo 6

Resolver para v' e integrar:
v' = 4 e^{2x}.
Integrando em x,
v(x) = \int 4 e^{2x}\,dx = 2 e^{2x} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Voltando à expressão u(x)=v(x)\,e^{-2x} com v(x)=2 e^{2x}+C, obtém-se a família de soluções da EDO (a forma simplificada será apresentada na seção de resposta). Podemos verificar rapidamente que isto funciona porque, ao substituir na equação original, obtemos a igualdade u' + 2u = 4 (os cálculos intermediários que levaram a v' e^{-2x}=4 garantem que a substituição satisfaz a equação).

Resposta

u(x)=2+C e^{-2x},\quad C\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados