[1.] Utilize o método de “variação de parâmetros” para EDOs escalares de primeira ordem, para encontrar as soluções da EDO,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede para encontrar as soluções usando o método de variação de parâmetros (variação da constante).
Informações dadas:
Informações dadas:
- A equação é linear, não-homogênea, de primeira ordem.
- O coeficiente na frente de
é constante igual a . - O termo de não-homogeneidade (lado direito) é a constante
.
Passo 2
Colocar a EDO na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Aqui, comparando, temos
ou seja,
e
são funções constantes. Explicação curta do que isso significa:
é o coeficiente multiplicando
e
é o termo que “força” a equação (não-homogeneidade).
Passo 3
Resolver primeiro a equação homogênea associada
Isto é uma equação separável; escrevemos
Integrando ambos os lados em relação a
,
Exponenciando,
onde
é uma constante arbitrária (
). Esse é o conjunto de soluções da homogênea, que chamarei de solução fundamental
.
Passo 4
Ideia do método de variação de parâmetros (variação da constante): permitir que a constante
da solução homogênea torne-se uma função
. Assim procuramos uma solução particular da forma
A intuição: a família
resolve a homogênea; deixando
variar com
tentamos acomodar a não-homogeneidade
.
Passo 5
Calcular a derivada de
por regra do produto e substituir na EDO. Pela regra do produto,
Substituindo em
:
Os termos com
cancelam:
Isto é uma equação simples para
.
Passo 6
Resolver para
e integrar:
Integrando em
,
onde
é constante de integração.
Passo 7
Voltando à expressão
com
, obtém-se a família de soluções da EDO (a forma simplificada será apresentada na seção de resposta). Podemos verificar rapidamente que isto funciona porque, ao substituir na equação original, obtemos a igualdade
(os cálculos intermediários que levaram a
garantem que a substituição satisfaz a equação).