[9.] Mostre que \varphi(t)=1-t e \psi(t)=-t^{2} / 4 são duas soluções do PVI
\left(u^{\prime}\right)^{2}+t u^{\prime}-u=0, \quad u(2)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial com condição inicial (PVI)
\left(u^{\prime}\right)^{2}+t\,u^{\prime}-u=0,\qquad u(2)=-1.
As funções que devemos verificar são
\varphi(t)=1-t \qquad\text{e}\qquad \psi(t)=-\dfrac{t^{2}}{4}.
O que o exercício pede: mostrar que cada uma dessas funções (i) é diferenciável, (ii) satisfaz a equação diferencial para todo t em seu domínio e (iii) satisfaz a condição inicial u(2)=-1.

Passo 2

O que significa “verificar uma solução”?
  • Calcular a derivada u'(t) da candidata u(t).
  • Substituir u e u' na expressão \left(u^{\prime}\right)^{2}+t\,u^{\prime}-u.
  • Mostrar que a expressão dá zero identicamente (para todos os t do domínio).
  • Verificar que u(2)=-1.
Vou fazer isso passo a passo para cada função. Antes, uma observação útil: a equação é um polinômio em u' (grau 2), então para cada t,u as derivadas possíveis são as raízes da quadrática em u'. Não precisamos resolver essa quadrática aqui; basta verificar diretamente.

Passo 3

Verificação para \varphi(t)=1-t.
  1. Calcular a derivada (regra básica: derivada de a t+b é a):
\varphi'(t) = \frac{d}{dt}(1-t) = -1.
  1. Substituir em \left(u^{\prime}\right)^{2}+t\,u^{\prime}-u com u=\varphi e u'=\varphi':
(\varphi')^{2}+t\varphi'-\varphi = (-1)^{2}+t(-1)-(1-t).
  1. Simplificar passo a passo:
(-1)^{2}+t(-1)-(1-t)=1 - t -1 + t = 0.
Como a expressão é identicamente zero, a equação diferencial é satisfeita para todo t.
  1. Verificar a condição inicial (pegando o dado do enunciado):
\varphi(2)=1-2=-1,
logo \varphi satisfaz u(2)=-1.
Conclusão parcial: \varphi(t)=1-t é uma solução do PVI.

Passo 4

Verificação para \psi(t)=-\dfrac{t^{2}}{4}.
  1. Calcular a derivada (regra: derivada de t^{2} é 2t; constante factorado):
\psi'(t)=\frac{d}{dt}\!\left(-\frac{t^{2}}{4}\right)=-\frac{1}{4}\cdot 2t=-\frac{t}{2}.
  1. Substituir em \left(u^{\prime}\right)^{2}+t\,u^{\prime}-u com u=\psi e u'=\psi':
(\psi')^{2}+t\psi'-\psi = \left(-\frac{t}{2}\right)^{2}+t\left(-\frac{t}{2}\right)-\left(-\frac{t^{2}}{4}\right).
  1. Simplificar passo a passo:
\left(-\frac{t}{2}\right)^{2}+t\left(-\frac{t}{2}\right)-\left(-\frac{t^{2}}{4}\right) = \frac{t^{2}}{4} - \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{2}}{4}.
Agrupando termos:
\frac{t^{2}}{4} + \frac{t^{2}}{4} - \frac{t^{2}}{2} = \frac{2t^{2}}{4} - \frac{2t^{2}}{4} = 0.
Portanto a equação diferencial é satisfeita para todo t.
  1. Verificar a condição inicial:
\psi(2)=-\frac{2^{2}}{4}=-\frac{4}{4}=-1,
logo \psi também satisfaz u(2)=-1.
Conclusão parcial: \psi(t)=-\dfrac{t^{2}}{4} é uma solução do PVI.

Passo 5

Comentário adicional (didático e útil para a prova).
A equação original é quadrática em u'. Se quisermos, podemos explicitamente escrever as possíveis derivadas como raízes da quadrática:
(u')^{2}+t u' - u = 0 \quad\Longrightarrow\quad u'=\frac{-t\pm\sqrt{t^{2}+4u}}{2}.
Para \varphi(t)=1-t tem-se t^{2}+4\varphi=t^{2}+4(1-t)= (t-2)^{2}, cuja raiz quadrada é |t-2|; escolhendo o sinal apropriado em cada intervalo de t obtém-se \varphi'=-1 (verificação feita acima mostra que isso funciona globalmente). Para \psi(t)=-t^{2}/4 tem-se t^{2}+4\psi=0 e a raiz é zero, daí u'=-t/2 é a única possibilidade nessa fórmula — e é exatamente \psi'.
Isso explica por que podem existir duas soluções com a mesma condição inicial: a forma explícita u' = F(t,u) envolve uma raiz quadrada cuja derivada em u pode deixar de ser Lipschitz onde o discriminante se anula, permitindo múltiplas soluções passando pelo mesmo ponto inicial. (Isso é só um contexto; a verificação direta já garante que as duas funções são soluções.)

Resposta

\varphi(t)=1-t é solução do PVI e satisfaz \varphi(2)=-1.\n \psi(t)=-\dfrac{t^{2}}{4} é solução do PVI e satisfaz \psi(2)=-1.

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