[9.] Mostre que
e
são duas soluções do PVI
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial com condição inicial (PVI)
As funções que devemos verificar são
O que o exercício pede: mostrar que cada uma dessas funções (i) é diferenciável, (ii) satisfaz a equação diferencial para todo
em seu domínio e (iii) satisfaz a condição inicial
.
Passo 2
O que significa “verificar uma solução”?
- Calcular a derivada
da candidata . - Substituir
e na expressão . - Mostrar que a expressão dá zero identicamente (para todos os
do domínio). - Verificar que
.
Vou fazer isso passo a passo para cada função. Antes, uma observação útil: a equação é um polinômio em
(grau 2), então para cada
as derivadas possíveis são as raízes da quadrática em
. Não precisamos resolver essa quadrática aqui; basta verificar diretamente.
Passo 3
Verificação para
.
- Calcular a derivada (regra básica: derivada de
é ):
- Substituir em
com e :
- Simplificar passo a passo:
Como a expressão é identicamente zero, a equação diferencial é satisfeita para todo
.
- Verificar a condição inicial (pegando o dado do enunciado):
logo
satisfaz
.
Conclusão parcial:
é uma solução do PVI.
Passo 4
Verificação para
.
- Calcular a derivada (regra: derivada de
é ; constante factorado):
- Substituir em
com e :
- Simplificar passo a passo:
Agrupando termos:
Portanto a equação diferencial é satisfeita para todo
.
- Verificar a condição inicial:
logo
também satisfaz
.
Conclusão parcial:
é uma solução do PVI.
Passo 5
Comentário adicional (didático e útil para a prova).
A equação original é quadrática em . Se quisermos, podemos explicitamente escrever as possíveis derivadas como raízes da quadrática:
A equação original é quadrática em
Para
tem-se
, cuja raiz quadrada é
; escolhendo o sinal apropriado em cada intervalo de
obtém-se
(verificação feita acima mostra que isso funciona globalmente). Para
tem-se
e a raiz é zero, daí
é a única possibilidade nessa fórmula — e é exatamente
.
Isso explica por que podem existir duas soluções com a mesma condição inicial: a forma explícita
envolve uma raiz quadrada cuja derivada em
pode deixar de ser Lipschitz onde o discriminante se anula, permitindo múltiplas soluções passando pelo mesmo ponto inicial. (Isso é só um contexto; a verificação direta já garante que as duas funções são soluções.)