Encontre a solução do problema de valor inicial,
[3.] u^{\prime}+(\tan t) u=\cos t, \quad u(0)=1, \quad em \quad-\pi / 2<t<\pi / 2
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de valor inicial e pede a sua solução no intervalo -\pi/2<t<\pi/2. Especificamente:
Equação: \;u^{\prime}+(\tan t)\,u=\cos t.
Condição inicial: \;u(0)=1.
Intervalo considerado: \;-\pi/2<t<\pi/2.
O que se pede: encontrar a função \;u(t) definida em (-\pi/2,\pi/2) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Identificar o tipo da equação e a forma padrão para aplicar o método apropriado.
A equação está na forma linear de primeira ordem
u^{\prime}+p(t)\,u=g(t),
onde, no nosso caso,
p(t)=\tan t,\qquad g(t)=\cos t.
Para esse tipo de equação usamos o fator integrante \mu(t) definido por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Explico: a ideia do fator integrante é transformar o lado esquerdo da equação numa derivada de produto \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)u(t)\big), o que facilita a integração imediata.
Passo 3
Calcular o fator integrante \mu(t).
Primeiro calcular \int p(t)\,dt=\int \tan t\,dt.
Usando \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t} e a substituição v=\cos t (ou lembrando a primitiva padrão), tem-se
onde C é constante arbitrária de integração. Isolando u obtemos a solução geral
u(t)=\cos t\,(t+C).
Passo 6
Determinar a constante C usando a condição inicial.
A condição inicial é \;u(0)=1. Substituindo t=0 na solução geral:
u(0)=\cos 0\,(0+C)=1\cdot C=1.
Logo \;C=1.
Passo 7
Escrever a solução particular que satisfaz a condição inicial e comentar a validade.
Substituindo \;C=1 na solução geral obtemos a solução particular (válida para -\pi/2<t<\pi/2):
u(t)=\cos t\,(t+1).
Conferência rápida (opcional): derivando e substituindo na equação original verifica-se que a identidade é satisfeita; a solução é contínua e diferenciável no intervalo porque \cos t>0 ali.