Encontre a solução do problema de valor inicial,
[3.] u^{\prime}+(\tan t) u=\cos t, \quad u(0)=1, \quad em \quad-\pi / 2<t<\pi / 2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de valor inicial e pede a sua solução no intervalo -\pi/2<t<\pi/2. Especificamente:
  • Equação: \;u^{\prime}+(\tan t)\,u=\cos t.
  • Condição inicial: \;u(0)=1.
  • Intervalo considerado: \;-\pi/2<t<\pi/2.
O que se pede: encontrar a função \;u(t) definida em (-\pi/2,\pi/2) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Identificar o tipo da equação e a forma padrão para aplicar o método apropriado.
A equação está na forma linear de primeira ordem
u^{\prime}+p(t)\,u=g(t),
onde, no nosso caso,
p(t)=\tan t,\qquad g(t)=\cos t.
Para esse tipo de equação usamos o fator integrante \mu(t) definido por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Explico: a ideia do fator integrante é transformar o lado esquerdo da equação numa derivada de produto \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)u(t)\big), o que facilita a integração imediata.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t).
Primeiro calcular \int p(t)\,dt=\int \tan t\,dt.
Usando \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t} e a substituição v=\cos t (ou lembrando a primitiva padrão), tem-se
\int \tan t\,dt=\int \frac{\sin t}{\cos t}\,dt=-\ln\big|\cos t\big|+C.
Portanto
\mu(t)=\exp\!\left(\int \tan t\,dt\right)=\exp\!\big(-\ln\big|\cos t\big|\big)=\frac{1}{\big|\cos t\big|}.
Observação sobre o valor absoluto: no intervalo dado (-\pi/2,\pi/2) vale \cos t>0, logo \big|\cos t\big|=\cos t e podemos escrever
\mu(t)=\frac{1}{\cos t}=\operatorname{sec} t\qquad\text{para }-\pi/2<t<\pi/2.

Passo 4

Multiplicar a equação original pelo fator integrante e reconhecer uma derivada de produto.
Multiplicando \;u^{\prime}+(\tan t)u=\cos t por \mu(t)=\operatorname{sec} t obtemos
\operatorname{sec} t\,u^{\prime}+\operatorname{sec} t\tan t\,u=\operatorname{sec} t\cos t.
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \operatorname{sec} t\cdot u, porque
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec} t\cdot u\big)=\operatorname{sec} t\,u^{\prime}+(\operatorname{sec} t)'\,u
e (\operatorname{sec} t)'=\operatorname{sec} t\tan t. Assim a equação fica
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec} t\cdot u\big)=\operatorname{sec} t\cos t.
Como \operatorname{sec} t\cos t=1 (desde que \cos t\neq0, o que é verdade no intervalo dado), temos
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec} t\cdot u\big)=1.

Passo 5

Integrar ambos os lados para obter a solução geral.
Integrando em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec} t\cdot u\big)\,dt=\int 1\,dt
resulta em
\operatorname{sec} t\cdot u = t + C,
onde C é constante arbitrária de integração. Isolando u obtemos a solução geral
u(t)=\cos t\,(t+C).

Passo 6

Determinar a constante C usando a condição inicial.
A condição inicial é \;u(0)=1. Substituindo t=0 na solução geral:
u(0)=\cos 0\,(0+C)=1\cdot C=1.
Logo \;C=1.

Passo 7

Escrever a solução particular que satisfaz a condição inicial e comentar a validade.
Substituindo \;C=1 na solução geral obtemos a solução particular (válida para -\pi/2<t<\pi/2):
u(t)=\cos t\,(t+1).
Conferência rápida (opcional): derivando e substituindo na equação original verifica-se que a identidade é satisfeita; a solução é contínua e diferenciável no intervalo porque \cos t>0 ali.

Resposta

u(t)=\cos t\,(t+1),\qquad -\tfrac{\pi}{2}<t<\tfrac{\pi}{2}.

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