[8.] Considere a EDO,
\left(1-t^{2}\right) u^{\prime}+u=0, \quad-1<t<1 \quad \text { e a família de funções } \quad \varphi(t)=K\left|\frac{1-t}{1+t}\right|^{1 / 2}íçõ
Verifique que \varphi(t) é uma solução em cada intervalo que não contém o ponto t=1 ou t=-1.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A equação diferencial ordinária
(1-t^{2})\,u'(t)+u(t)=0,\qquad -1<t<1.
  • A família de funções
\varphi(t)=K\left|\frac{1-t}{1+t}\right|^{1/2},
onde K é constante real.
O que pede verificar: mostrar que cada função da família \varphi(t) satisfaz a equação diferencial acima em qualquer intervalo que não contenha os pontos t=1 ou t=-1.

Passo 2

Estratégia de verificação (apenas descrita): vamos calcular a derivada \varphi'(t) e substituir na equação (1-t^{2})\varphi'(t)+\varphi(t) para verificar que dá zero. Para diferenciar corretamente a expressão com valor absoluto, usamos diferenciação por log (derivada de \ln|x| é 1/x quando x\neq0), o que evita problemas de escolha de ramo do radical.

Passo 3

Escrever \varphi(t) em termos de logaritmo para facilitar a diferenciação. Para t em um intervalo que não contém t=\pm1 temos \varphi(t)>0 quando K>0 (e análogo para K<0), e em todo caso podemos usar:
\ln|\varphi(t)|=\ln|K|+\tfrac{1}{2}\bigl(\ln|1-t|-\ln|1+t|\bigr).
Isso é válido porque \varphi(t)=K\exp\bigl(\tfrac{1}{2}(\ln|1-t|-\ln|1+t|)\bigr).

Passo 4

Diferenciando ambos os lados em relação a t (usando \tfrac{d}{dt}\ln|x|=1/x para x\neq0 e regra da cadeia):
\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}=\tfrac{1}{2}\left(\frac{d}{dt}\ln|1-t|-\frac{d}{dt}\ln|1+t|\right) =\tfrac{1}{2}\left(\frac{-1}{1-t}-\frac{1}{1+t}\right).
Agora simplificamos o lado direito. Somando as frações:
\frac{-1}{2}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right) =\frac{-1}{2}\left(\frac{1+t+1-t}{1-t^{2}}\right) =\frac{-1}{2}\left(\frac{2}{1-t^{2}}\right) =-\frac{1}{1-t^{2}}.
Portanto obtemos a expressão simples
\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}=-\frac{1}{1-t^{2}}.

Passo 5

A partir de \dfrac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}=-\dfrac{1}{1-t^{2}} multiplicamos por \varphi(t) e isolamos \varphi'(t):
\varphi'(t)=-\frac{\varphi(t)}{1-t^{2}}.

Passo 6

Substituir \varphi'(t) na equação diferencial:
(1-t^{2})\varphi'(t)+\varphi(t)=(1-t^{2})\left(-\frac{\varphi(t)}{1-t^{2}}\right)+\varphi(t)=-\varphi(t)+\varphi(t)=0.
Logo a expressão é identicamente zero para todo t onde fizemos as manipulações (ou seja, para t tal que 1\pm t\neq0, isto é, fora de t=\pm1).

Passo 7

Comentários finais e hipóteses usadas: a diferenciação usou \ln|\,\cdot\,|, portanto exigimos que 1\pm t\neq0 (para evitar divisão por zero) e que estamos em um intervalo onde os sinais de 1\pm t não trocam de sinal através dos pontos proibidos — por isso a verificação vale em cada intervalo que não contém t=1 ou t=-1. Isso garante que \varphi é diferenciável nesses intervalos e que os passos anteriores são válidos.

Resposta

A família \displaystyle \varphi(t)=K\left|\frac{1-t}{1+t}\right|^{1/2} satisfaz (1-t^{2})\varphi'(t)+\varphi(t)=0 em cada intervalo que não contém t=1 ou t=-1.

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