\left(1-t^{2}\right) u^{\prime}+u=0, \quad-1<t<1 \quad \text { e a família de funções } \quad \varphi(t)=K\left|\frac{1-t}{1+t}\right|^{1 / 2}
Verifique que \varphi(t) é uma solução em cada intervalo que não contém o ponto t=1 ou t=-1.
Passo 1
O enunciado nos dá:
A equação diferencial ordinária
(1-t^{2})\,u'(t)+u(t)=0,\qquad -1<t<1.
A família de funções
\varphi(t)=K\left|\frac{1-t}{1+t}\right|^{1/2},
onde K é constante real.
O que pede verificar: mostrar que cada função da família \varphi(t) satisfaz a equação diferencial acima em qualquer intervalo que não contenha os pontos t=1 ou t=-1.
Passo 2
Estratégia de verificação (apenas descrita): vamos calcular a derivada \varphi'(t) e substituir na equação (1-t^{2})\varphi'(t)+\varphi(t) para verificar que dá zero. Para diferenciar corretamente a expressão com valor absoluto, usamos diferenciação por log (derivada de \ln|x| é 1/x quando x\neq0), o que evita problemas de escolha de ramo do radical.
Passo 3
Escrever \varphi(t) em termos de logaritmo para facilitar a diferenciação. Para t em um intervalo que não contém t=\pm1 temos \varphi(t)>0 quando K>0 (e análogo para K<0), e em todo caso podemos usar:
Logo a expressão é identicamente zero para todo t onde fizemos as manipulações (ou seja, para t tal que 1\pm t\neq0, isto é, fora de t=\pm1).
Passo 7
Comentários finais e hipóteses usadas: a diferenciação usou \ln|\,\cdot\,|, portanto exigimos que 1\pm t\neq0 (para evitar divisão por zero) e que estamos em um intervalo onde os sinais de 1\pm t não trocam de sinal através dos pontos proibidos — por isso a verificação vale em cada intervalo que não contém t=1 ou t=-1. Isso garante que \varphi é diferenciável nesses intervalos e que os passos anteriores são válidos.
Resposta
A família \displaystyle \varphi(t)=K\left|\frac{1-t}{1+t}\right|^{1/2} satisfaz (1-t^{2})\varphi'(t)+\varphi(t)=0 em cada intervalo que não contém t=1 ou t=-1.