[2.] Para constantes p, A e \omega, encontre as soluções da EDO,
u^{\prime}+p u=A e^{\omega t} \quad \text { em } \quad I \subseteq \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
u^{\prime}+p\,u=A e^{\omega t}\quad\text{em}\quad I\subseteq\mathbb{R},
onde p, A e \omega são constantes.
O que se pede: encontrar todas as soluções (a solução geral) dessa EDO, ou seja, uma expressão para u(t) válida em I, cobrindo os casos que possam exigir tratamento especial.

Passo 2

Ideia geral e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Uma EDO linear de primeira ordem tem forma padrão
u'+a(t)u=b(t).
O método que vamos aplicar usa um fator integrante \mu(t) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(t), o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(t)u(t). Esse \mu(t) é dado por
\mu(t)=\exp\!\left(\int a(t)\,dt\right).
Justificativa curta: se \mu'=\mu a, então
(\mu u)'=\mu u'+\mu' u=\mu(u'+a u),
logo multiplicando a EDO original por \mu obtemos (\mu u)'=\mu b, que é fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso. Aqui a(t)=p (constante) e b(t)=A e^{\omega t}. Então o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int p\,dt\right)=e^{p t}.
Multiplicando a EDO por e^{p t} obtemos
e^{p t}u'+p e^{p t}u = A e^{p t}e^{\omega t}.
Pelo cálculo anterior, o lado esquerdo é a derivada de e^{p t}u, e o lado direito simplifica para A e^{(p+\omega)t}. Assim
\bigl(e^{p t}u(t)\bigr)' = A e^{(p+\omega)t}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em t. Ao integrar o membro direito devemos separar os casos conforme o valor de p+\omega.
Caso 1: p+\omega\neq 0.
Integração:
e^{p t}u(t)=\int A e^{(p+\omega)t}\,dt = \frac{A}{p+\omega}e^{(p+\omega)t} + C,
onde C é constante de integração. Dividindo por e^{p t} obtemos
u(t)=\frac{A}{p+\omega}e^{\omega t} + C e^{-p t}.
Comentário didático: a solução tem duas partes — uma solução particular \dfrac{A}{p+\omega}e^{\omega t} que acompanha o termo forçante, e a solução geral da homogênea C e^{-p t} (obtida da equação homogênea u'+p u=0). Note que \dfrac{A}{p+\omega}e^{\omega t} é a tentativa padrão de forma B e^{\omega t} com B constante; ela funciona quando \omega não “resonante” com o autovalor -p.

Passo 5

Caso 2: p+\omega=0 (resonância). Isso equivale a \omega=-p. Neste caso o membro direito da equação integrada fica constante:
\bigl(e^{p t}u(t)\bigr)' = A.
Integrando:
e^{p t}u(t)=\int A\,dt = A t + C.
Dividindo por e^{p t} obtemos
u(t)=A t e^{-p t} + C e^{-p t}.
Comentário didático: quando a tentativa B e^{\omega t} dá uma função que já pertence ao espaço das soluções homogêneas (aqui ocorre quando \omega=-p), é preciso multiplicar por t para encontrar uma solução particular (por isso apareceu A t e^{-p t}).

Passo 6

Verificação rápida (aprender a checar no exame).
  • Para p+\omega\neq 0 calcule u' de u=\dfrac{A}{p+\omega}e^{\omega t}+C e^{-p t} e substitua em u'+p u; os termos envolvendo C se cancelam (homogênea) e a parte exponencial dá exatamente A e^{\omega t}.
  • Para p+\omega=0 faça o mesmo com u=A t e^{-p t}+C e^{-p t}; ao derivar aparece um termo A e^{-p t} necessário para reproduzir o forçamento A e^{\omega t}=A e^{-p t}.

Passo 7

Resumo prático e dica para a prova.
  • Use sempre o fator integrante e^{\int p\,dt}=e^{p t} para multiplicar e transformar a equação em uma derivada exata.
  • Lembre-se de checar a caso degenerado p+\omega=0; é um padrão comum (resonância) que exige resposta com um fator t.
  • A constante C aparece da integração e corresponde às condições iniciais (se houverem, determine C a partir de u(t_0)=u_0).

Resposta

u(t)=\dfrac{A}{p+\omega}\,e^{\omega t}+C e^{-p t}, se p+\omega\neq 0
u(t)=A t e^{-p t}+C e^{-p t}, se p+\omega=0

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