[2.] Para constantes
e
, encontre as soluções da EDO,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
onde
,
e
são constantes.
O que se pede: encontrar todas as soluções (a solução geral) dessa EDO, ou seja, uma expressão para válida em
, cobrindo os casos que possam exigir tratamento especial.
O que se pede: encontrar todas as soluções (a solução geral) dessa EDO, ou seja, uma expressão para
Passo 2
Ideia geral e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Uma EDO linear de primeira ordem tem forma padrão
Uma EDO linear de primeira ordem tem forma padrão
O método que vamos aplicar usa um fator integrante
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada de
. Esse
é dado por
Justificativa curta: se
, então
logo multiplicando a EDO original por
obtemos
, que é fácil de integrar.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso. Aqui
(constante) e
. Então o fator integrante é
Multiplicando a EDO por
obtemos
Pelo cálculo anterior, o lado esquerdo é a derivada de
, e o lado direito simplifica para
. Assim
Passo 4
Integramos ambos os lados em
. Ao integrar o membro direito devemos separar os casos conforme o valor de
.
Caso 1:
.
Integração:
Integração:
onde
é constante de integração. Dividindo por
obtemos
Comentário didático: a solução tem duas partes — uma solução particular
que acompanha o termo forçante, e a solução geral da homogênea
(obtida da equação homogênea
). Note que
é a tentativa padrão de forma
com
constante; ela funciona quando
não “resonante” com o autovalor
.
Passo 5
Caso 2:
(resonância). Isso equivale a
. Neste caso o membro direito da equação integrada fica constante:
Integrando:
Dividindo por
obtemos
Comentário didático: quando a tentativa
dá uma função que já pertence ao espaço das soluções homogêneas (aqui ocorre quando
), é preciso multiplicar por
para encontrar uma solução particular (por isso apareceu
).
Passo 6
Verificação rápida (aprender a checar no exame).
- Para
calcule de e substitua em ; os termos envolvendo se cancelam (homogênea) e a parte exponencial dá exatamente . - Para
faça o mesmo com ; ao derivar aparece um termo necessário para reproduzir o forçamento .
Passo 7
Resumo prático e dica para a prova.
- Use sempre o fator integrante
para multiplicar e transformar a equação em uma derivada exata. - Lembre-se de checar a caso degenerado
; é um padrão comum (resonância) que exige resposta com um fator . - A constante
aparece da integração e corresponde às condições iniciais (se houverem, determine a partir de ).