(10) lim n infty(1-3n)^n

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limn to inftyl(1 - 3nr)^n
Esse tipo de limite é clássico e está relacionado à definição do número e e à forma geral
limntoinftyl(1+tfracxnr)^n=e^x

Passo 2

Vamos usar o truque de tomar o logaritmo natural da sequência. Defina
L = limn to inftyl(1 - 3nr)^n
Então
ln L = limntoinftyn;lnl(1 - 3nr)

Passo 3

Para avaliar
limntoinftyn,lnl(1 - 3nr),
faremos a mudança de variável x = 1/n. Quando ntoinfty, xto0^+, e
n,lnl(1 - 3nr) = ln(1 - 3x)x
Logo,
ln L = limxto0^+ln(1 - 3x)x

Passo 4

Usamos a expansão em série de Taylor para ln(1+u) em torno de u=0:
ln(1+u) = u - u^22 + O(u^3)
Aqui u = -3x, então
ln(1 - 3x) = -3x - (-3x)^22 + O(x^3) = -3x - 9x^22 + O(x^3)
Dividindo por x e fazendo xto0 sobra
limxto0^+ln(1 - 3x)x = limxto0^+l(-3 - 9x2 + O(x^2)r) = -3
Portanto ln L = -3.

Passo 5

Como ln L = -3, obtemos
L = e^-3

Resposta

limn to inftyl(1 - 3nr)^n = e^-3

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