Verifique a aplicabilidade do Teorema da Função Implícita e calcule y^prime(P0) e y^prime prime(P0).
ln (x y)+x y^2-1=0 ; P0=(1,1)

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
g(x,y)=ln(xy)+x,y^2-1=0
e pede para verificar a aplicabilidade do Teorema da Função Implícita em P0=(1,1) e, em seguida, calcular y'(P0) e y''(P0). Vamos usar a teoria que diz: se g(1,1)=0 e partial g/partial yl|(1,1)neq0, então existe uma função y(x) e podemos obter as derivadas por meio das derivadas parciais de g.

Passo 2

Primeiro confirmamos que P0 satisfaz a equação e que partial g/partial yneq0 em P0. Definindo
g(x,y)=ln(xy)+x,y^2-1,
temos
g(1,1)=ln(1cdot1)+1cdot1^2-1=0+1-1=0
As derivadas parciais são
partial gpartial x=1x+y^2, partial gpartial y=1y+2x,y
Em (1,1) isso vale
partial gpartial yl|(1,1)=1+2cdot1cdot1=3neq0,
portanto o Teorema da Função Implícita se aplica.

Passo 3

Pela fórmula do Teorema da Função Implícita,
y'=-partial g/partial xpartial g/partial y
Em (1,1) temos
partial gpartial xl|(1,1)=1+1^2=2, partial gpartial yl|(1,1)=3,
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y'(P0)=-23

Passo 4

Para y'' usamos a derivada total de y'=-A/B, com A=gx e B=gy. Denotando
A'=ddxgx = gxx+gxy,y', B'=ddxgy = gyx+gyy,y',
onde
gxx=-1x^2, gxy=2y, gyy=-1y^2+2x
Em (1,1) e usando y'(P0)=-2/3 temos
gxx(1,1)=-1, gxy(1,1)=2, gyy(1,1)=1,
A'=-1+2cdotl(-tfrac23r)=-tfrac73, B'=2+1cdotl(-tfrac23r)=tfrac43
Então
y''=-A',B - A,B'B^2 =-l(-tfrac73r)cdot3 - 2cdotl(tfrac43r)3^2 =29/39 =2927

Resposta

y'(P0)=-tfrac23
y''(P0)=tfrac2927

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