10.17 Para determinar a vazão em um canal de 8,0 \mathrm{~m} de largura na superfície livre em regime fluvial, provocon-se uma perturbação na superfície (jo-gou-se uma pedra) e mediu-se o tempo necessário para que as pequenas ondas produzidas atingissem uma seção a 20 m do centro da perturbação. No sentido do escoamento este tempo foi de 5 s e em sentido contrário foi de 7,5 \mathrm{~s}. Determine a vazão.
\left[Q=6,05 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}\right]

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento uniforme em canal de largura b=8{,}0\\ \mathrm{m}. Lançou-se uma perturbação para gerar pequenas ondas livres, e mediu-se o tempo que elas levam para percorrer L=20\\ \mathrm{m} a favor da corrente ( t_d=5\\ \mathrm{s}) e contra a corrente ( t_u=7{,}5\\ \mathrm{s}).
Conteúdo: velocidade relativa de propagação de ondas em escoamento fluvial e celeridade de ondas rasas c=\sqrt{g\,h}. Vamos usar as velocidades aparentes medidais para obter a velocidade do escoamento v e a celeridade c, depois calcular a profundidade h e, enfim, a vazão Q=b\,h\,v.

Passo 2

Calcular as velocidades aparentes das ondas a favor e contra a corrente:
u_d = \frac{L}{t_d} = \frac{20}{5} = 4{,}0\\ \mathrm{m/s},
u_u = \frac{L}{t_u} = \frac{20}{7{,}5} = 2{,}6667\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

As ondas viajam com celeridade relativa ao fluido c mais ou menos a velocidade de escoamento v:
c + v = u_d,
c - v = u_u.
Somando as duas equações:
2\,c = u_d + u_u = 4{,}0 + 2{,}6667 = 6{,}6667 \quad\Longrightarrow\quad c = 3{,}3333\\ \mathrm{m/s}.
Subtraindo a segunda da primeira:
2\,v = u_d - u_u = 4{,}0 - 2{,}6667 = 1{,}3333 \quad\Longrightarrow\quad v = 0{,}6667\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Determinar a profundidade média h usando a fórmula de celeridade em águas rasas:
c = \sqrt{g\,h} \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{c^2}{g} = \frac{(3{,}3333)^2}{9{,}81} = 1{,}132\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a área da secção úmida e a vazão:
A = b\,h = 8{,}0 \times 1{,}132 = 9{,}056\\ \mathrm{m^2},
Q = A\,v = 9{,}056 \times 0{,}6667 = 6{,}05\\ \mathrm{m^3/s}.

Resposta

A vazão no canal é Q = 6{,}05\\ \mathrm{m^3/s}.

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