Determine \int_{C} \cos x d x+\operatorname{sen} y d y onde C: x^{2}+y^{2}=1 considerando metade superior da circunferência de (1,0) para (-1,0).

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\int_{C}\cos x\,dx+\operatorname{sen} y\,dy
onde C é a metade superior da circunferência x^{2}+y^{2}=1 indo de (1,0) a (-1,0).
O conteúdo envolvido é integral de linha de um campo vetorial e o que vamos precisar é verificar se ele é conservativo para usar função potencial.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\bigl(\cos x,\;\operatorname{sen} y\bigr).
Para ver se \mathbf{F} é conservativo, comparamos as derivadas mistas:
\partial/\partial y(\cos x)=0 e \partial/\partial x(\operatorname{sen} y)=0.
Como coincidem, \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Procuramos uma potencial \varphi(x,y) com
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\cos x,
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\varphi(x,y)=\int\cos x\,dx=\operatorname{sen} x+g(y).
Então
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=g'(y)
deve ser igual a \operatorname{sen} y, o que dá g'(y)=\operatorname{sen} y e
g(y)=-\cos y+C.
Podemos escolher C=0 e obter
\varphi(x,y)=\operatorname{sen} x-\cos y.

Passo 4

Como \mathbf{F} é conservativo,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\varphi\bigl(x_{f},y_{f}\bigr)-\varphi\bigl(x_{i},y_{i}\bigr),
com ponto inicial (1,0) e final (-1,0). Calculamos
\varphi(-1,0)-\varphi(1,0) =\bigl[\operatorname{sen}(-1)-\cos 0\bigr]-\bigl[\operatorname{sen}(1)-\cos 0\bigr] =(-\operatorname{sen} 1-1)-(\operatorname{sen} 1-1) =-2\operatorname{sen} 1.

Resposta

-2\operatorname{sen} 1

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