10.45 Uma bomba centrífuga deve operar a
(pés cúbicos por segundo),
e
rpm. Um teste de modelo é planejado em uma instalação onde a vazão máxima de água é 5 cfs e um dinamômetro de 300 hp está disponível. Considere que as eficiências do modelo e do protótipo são comparáveis. Determine a velocidade e a razão de escala apropriadas para o teste do modelo.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a velocidade (rotacional) do modelo e a razão de escala geométrica apropriada para um ensaio em modelo de uma bomba centrífuga. Dados fornecidos pelo enunciado:
Dados da instalação de ensaio (limites do modelo):
Observações importantes extraídas do enunciado (que vou usar depois): as eficiências do modelo e do protótipo são comparáveis (ou seja, assumimos que razões entre potências hidráulicas e mecânicas se comportam de forma consistente entre eles). O objetivo é escolher
(velocidade do modelo) e a razão de escala geométrica
de modo a respeitar os limites de vazão e de potência do laboratório.
Não começo a resolver aqui — só enumerei o que foi pedido e o que é conhecido.
Não começo a resolver aqui — só enumerei o que foi pedido e o que é conhecido.
Passo 2
Conceito e fórmulas de similaridade (explicação didática).
- A ideia básica: para um modelo geometricamente semelhante funcionando em condições dinâmicas semelhantes (números adimensionais iguais), existem leis de afinidade que relacionam vazão, carga (head) e potência entre protótipo e modelo.
- Intuição física curta:
- A velocidade periférica característica da bomba escala com
(giro por minuto vezes dimensão linear). - A área típica que determina vazão escala como
. - Assim, a vazão característica deve escalar como velocidade × área ⇒
. - A carga (head) está associada a velocidades quadráticas (energia por unidade de peso ∼ velocidade²/g), logo
. - A potência hidráulica é
(proporcional a ), combinando as leis acima dá .
- A velocidade periférica característica da bomba escala com
- Essas relações são as chamadas leis de afinidade para bombas centrífugas (quando eficiência do modelo e protótipo são comparáveis):
onde
,
em rpm,
em mesma unidade,
em mesma unidade, e
em mesma unidade (hp, por exemplo). Vou usar essas equações passo a passo. Cada símbolo:
-
: vazão do protótipo e do modelo. -
: carga (head) do protótipo e do modelo. -
: rotações por minuto do protótipo e do modelo. -
: diâmetro característico do protótipo e do modelo. -
: razão de escala geométrica . -
: potências (podem considerar potências hidráulicas; como eficiências comparáveis, as relações de escala valem).
Passo 3
Decisão prática para usar os limites do laboratório.
- Para aproveitar bem a instalação, é sensato escolher o modelo de modo que ambos recursos sejam usados ao máximo: isto é, operar com
e com potência do modelo . Essas duas igualdades fornecerão duas equações para as duas incógnitas e . - Vou então impor:
Passo 4
Escrever a equação da vazão usando as leis de afinidade e isolar uma relação entre
e
.
Da lei de afinidade para vazão:
Da lei de afinidade para vazão:
Substituindo números:
Calculo do lado esquerdo:
Logo
Definindo
, temos
Passo 5
Expressar a potência do protótipo (potência hidráulica) numericamente — explicação de unidades.
- A potência hidráulica do protótipo (energia por unidade de tempo que a bomba transfere ao fluido) é
onde
é o peso específico da água. Em unidades inglesas usamos
. Para converter ft·lb/s em hp dividimos por
.
- Então a potência hidráulica do protótipo em hp é
Substituindo
e
:
Faço as contas passo a passo:
Portanto
(Obs.: isto é a potência hidráulica; a potência de eixo do protótipo será maior se a eficiência for menor que 1. Como as eficiências do modelo e do protótipo são comparáveis, usarei relações de escala baseadas em potências hidráulicas, que são proporcionais às potências de eixo quando as eficiências são semelhantes.)
Passo 6
Relacionar
com
usando as leis de afinidade e a equação obtida em Passo 4.
- A lei de afinidade para potência (usando potências hidráulicas) é:
- Substituo
(do Passo 4):
- Portanto
Agora imponho
e resolvo para
:
Passo 7
Resolver numericamente para
(detalhando as operações).
- Calculo
:
- Multiplico por
:
- Assim a equação vira
- Isolando
:
- Então
- Tomando a raiz quarta:
Faço as raízes passo a passo:
Portanto
Passo 8
Calcular a velocidade do modelo
usando a relação encontrada no Passo 4.
- Lembro que
. - Primeiro calculo
:
- Então
- Assim
Arredondando razoavelmente:
Passo 9
Verificação rápida (consistência): calcular
e
a partir de
e
para checar limites.
- Pela construção,
foi imposto = . - Verifico
via relação : -
. -
. - Produto
. - Multiplicando por
dá (confirmando a escolha).
-
- Portanto os valores encontrados satisfazem os dois limites simultaneamente.