10.45 Uma bomba centrífuga deve operar a Q=250 \mathrm{cfs} (pés cúbicos por segundo), H=400 \mathrm{ft} e N=870 rpm. Um teste de modelo é planejado em uma instalação onde a vazão máxima de água é 5 cfs e um dinamômetro de 300 hp está disponível. Considere que as eficiências do modelo e do protótipo são comparáveis. Determine a velocidade e a razão de escala apropriadas para o teste do modelo.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a velocidade (rotacional) do modelo e a razão de escala geométrica apropriada para um ensaio em modelo de uma bomba centrífuga. Dados fornecidos pelo enunciado:
Q_p=250\\ \mathrm{cfs},\qquad H_p=400\\ \mathrm{ft},\qquad N_p=870\\ \mathrm{rpm}.
Dados da instalação de ensaio (limites do modelo):
Q_{m,\max}=5\\ \mathrm{cfs},\qquad P_{m,\max}=300\\ \mathrm{hp}.
Observações importantes extraídas do enunciado (que vou usar depois): as eficiências do modelo e do protótipo são comparáveis (ou seja, assumimos que razões entre potências hidráulicas e mecânicas se comportam de forma consistente entre eles). O objetivo é escolher N_m (velocidade do modelo) e a razão de escala geométrica k=\dfrac{D_m}{D_p} de modo a respeitar os limites de vazão e de potência do laboratório.
Não começo a resolver aqui — só enumerei o que foi pedido e o que é conhecido.

Passo 2

Conceito e fórmulas de similaridade (explicação didática).
  • A ideia básica: para um modelo geometricamente semelhante funcionando em condições dinâmicas semelhantes (números adimensionais iguais), existem leis de afinidade que relacionam vazão, carga (head) e potência entre protótipo e modelo.
  • Intuição física curta:
    • A velocidade periférica característica da bomba escala com N\cdot D (giro por minuto vezes dimensão linear).
    • A área típica que determina vazão escala como D^2.
    • Assim, a vazão característica deve escalar como velocidade × área ⇒ Q\sim (N D)\cdot D^2 = N D^3.
    • A carga (head) está associada a velocidades quadráticas (energia por unidade de peso ∼ velocidade²/g), logo H\sim (N D)^2.
    • A potência hidráulica é \rho gQH (proporcional a QH), combinando as leis acima dá P\sim N^3 D^5.
  • Essas relações são as chamadas leis de afinidade para bombas centrífugas (quando eficiência do modelo e protótipo são comparáveis):
\frac{Q_m}{Q_p}=\frac{N_m}{N_p}\,k^3,
\frac{H_m}{H_p}=\left(\frac{N_m}{N_p}\right)^2 k^2,
\frac{P_m}{P_p}=\left(\frac{N_m}{N_p}\right)^3 k^5,
onde k=\dfrac{D_m}{D_p}, N em rpm, Q em mesma unidade, H em mesma unidade, e P em mesma unidade (hp, por exemplo). Vou usar essas equações passo a passo. Cada símbolo:
  • Q_p,Q_m: vazão do protótipo e do modelo.
  • H_p,H_m: carga (head) do protótipo e do modelo.
  • N_p,N_m: rotações por minuto do protótipo e do modelo.
  • D_p,D_m: diâmetro característico do protótipo e do modelo.
  • k: razão de escala geométrica D_m/D_p.
  • P_p,P_m: potências (podem considerar potências hidráulicas; como eficiências comparáveis, as relações de escala valem).

Passo 3

Decisão prática para usar os limites do laboratório.
  • Para aproveitar bem a instalação, é sensato escolher o modelo de modo que ambos recursos sejam usados ao máximo: isto é, operar com Q_m=Q_{m,\max}=5\\ \mathrm{cfs} e com potência do modelo P_m=P_{m,\max}=300\\ \mathrm{hp}. Essas duas igualdades fornecerão duas equações para as duas incógnitas N_m e k.
  • Vou então impor:
Q_m=5\\ \mathrm{cfs},\qquad P_m=300\\ \mathrm{hp}.

Passo 4

Escrever a equação da vazão usando as leis de afinidade e isolar uma relação entre N_m e k.
Da lei de afinidade para vazão:
\frac{Q_m}{Q_p}=\frac{N_m}{N_p}\,k^3.
Substituindo números:
\frac{5}{250}=\frac{N_m}{870}\,k^3.
Calculo do lado esquerdo:
\frac{5}{250}=0{,}02.
Logo
\frac{N_m}{870}\,k^3=0{,}02.
Definindo r=\dfrac{N_m}{N_p}=\dfrac{N_m}{870}, temos
r\,k^3=0{,}02\quad\Rightarrow\quad r=\frac{0{,}02}{k^3}.

Passo 5

Expressar a potência do protótipo (potência hidráulica) numericamente — explicação de unidades.
  • A potência hidráulica do protótipo (energia por unidade de tempo que a bomba transfere ao fluido) é
P_{hyd,p}=\gamma Q_p H_p,
onde \gamma é o peso específico da água. Em unidades inglesas usamos \gamma\approx 62{,}4\\ \mathrm{lb/ft^3}. Para converter ft·lb/s em hp dividimos por 550.
  • Então a potência hidráulica do protótipo em hp é
P_{hyd,p}=\frac{62{,}4\cdot Q_p\cdot H_p}{550}.
Substituindo Q_p=250 e H_p=400:
P_{hyd,p}=\frac{62{,}4\cdot 250\cdot 400}{550}.
Faço as contas passo a passo:
62{,}4\cdot 250=15\,600,
15\,600\cdot 400=6\,240\,000,
\frac{6\,240\,000}{550}=11\,345{,}4545\\ \mathrm{hp}.
Portanto
P_{hyd,p}\approx 11\,345{,}45\\ \mathrm{hp}.
(Obs.: isto é a potência hidráulica; a potência de eixo do protótipo será maior se a eficiência for menor que 1. Como as eficiências do modelo e do protótipo são comparáveis, usarei relações de escala baseadas em potências hidráulicas, que são proporcionais às potências de eixo quando as eficiências são semelhantes.)

Passo 6

Relacionar P_m com k usando as leis de afinidade e a equação obtida em Passo 4.
  • A lei de afinidade para potência (usando potências hidráulicas) é:
\frac{P_m}{P_{hyd,p}}=\left(\frac{N_m}{N_p}\right)^3 k^5 = r^3 k^5.
  • Substituo r=\dfrac{0{,}02}{k^3} (do Passo 4):
\frac{P_m}{P_{hyd,p}}=\left(\frac{0{,}02}{k^3}\right)^3 k^5 = 0{,}02^3\,k^{-9}\,k^5=0{,}02^3\,k^{-4}.
  • Portanto
P_m = P_{hyd,p}\cdot 0{,}02^3\,k^{-4}.
Agora imponho P_m=300\\ \mathrm{hp} e resolvo para k:
300 = 11\,345{,}45\cdot 0{,}02^3\,k^{-4}.

Passo 7

Resolver numericamente para k (detalhando as operações).
  • Calculo 0{,}02^3:
0{,}02^3=8{,}0\times 10^{-6}.
  • Multiplico por P_{hyd,p}:
11\,345{,}45\times 8{,}0\times 10^{-6}=0{,}0907636\\ (\text{aprox.}).
  • Assim a equação vira
300=0{,}0907636\,k^{-4}.
  • Isolando k^{-4}:
k^{-4}=\frac{300}{0{,}0907636}=3\,304{,}28\\ (\text{aprox.}).
  • Então
k^4=\frac{1}{3\,304{,}28}=3{,}02545\times 10^{-4}.
  • Tomando a raiz quarta:
k=\left(3{,}02545\times 10^{-4}\right)^{1/4}.
Faço as raízes passo a passo:
\sqrt{3{,}02545\times 10^{-4}}=1{,}7394\times 10^{-2},
\sqrt{1{,}7394\times 10^{-2}}=0{,}131879\\ (\text{aprox.}).
Portanto
k=\frac{D_m}{D_p}\approx 0{,}1319.

Passo 8

Calcular a velocidade do modelo N_m usando a relação encontrada no Passo 4.
  • Lembro que r=\dfrac{N_m}{870}=\dfrac{0{,}02}{k^3}.
  • Primeiro calculo k^3:
k^3=(0{,}131879)^3\approx 0{,}002294.
  • Então
r=\frac{0{,}02}{0{,}002294}\approx 8{,}7234.
  • Assim
N_m=r\cdot 870\approx 8{,}7234\times 870\approx 7\,586{,}96\\ \mathrm{rpm}.
Arredondando razoavelmente:
N_m\approx 7\,587\\ \mathrm{rpm}.

Passo 9

Verificação rápida (consistência): calcular Q_m e P_m a partir de k e N_m para checar limites.
  • Pela construção, Q_m foi imposto = 5\\ \mathrm{cfs}.
  • Verifico P_m via relação P_m=P_{hyd,p}\,r^3 k^5:
    • r^3=(8{,}7234)^3\approx 663{,}95.
    • k^5=(0{,}131879)^5\approx 4{,}402\times 10^{-5}.
    • Produto r^3 k^5\approx 663{,}95\times 4{,}402\times 10^{-5}\approx 0{,}026456.
    • Multiplicando por P_{hyd,p}\approx 11\,345{,}45 P_m\approx 11\,345{,}45\times 0{,}026456\approx 300\\ \mathrm{hp} (confirmando a escolha).
  • Portanto os valores encontrados satisfazem os dois limites simultaneamente.

Resposta

N_m \approx 7\,587\\ \mathrm{rpm}\n
\dfrac{D_m}{D_p}=k \approx 0{,}1319

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