10.10 Para o rotor do Problema 10.5, determine o ângulo de entrada da pá para o qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for
. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para o rotor do Problema 10.5 quando a vazão volumétrica é
:
- Determinar o ângulo de entrada da pá para o qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero.
- Calcular a altura de carga teórica.
- Calcular a potência mecânica teórica de entrada.
Informações relevantes que o enunciado deste problema fornece explicitamente:
- A vazão volumétrica
.
Informações que deveriam vir do Problema 10.5 (mas que não foram fornecidas aqui) e que são essenciais para obter respostas numéricas:
- Geometria do rotor: raio(s) relevante(is) (
, ou raio médio ) e/ou altura da pá (folga axial) ou área de escoamento na entrada . - Velocidade de rotação
(em rpm) ou (em rad/s). - Condições na saída do rotor (por exemplo componente tangencial da velocidade absoluta na saída
, ou ângulo relativo de saída , ou hipótese de fluxo livre-vórtice / de superfície livre etc.). - Densidade do fluido
(se necessário para potência) e (valor de pode ser tomado como se não houver outra indicação). - Qualquer hipótese adicional dada no Problema 10.5 (ex.: uso de raio médio, velocidade meridional uniforme, escoamento radial ou axial, perdas desprezíveis, etc.).
Conclusão do Passo 1: Não é possível calcular valores numéricos finais porque dados essenciais do Problema 10.5 não foram fornecidos. Abaixo eu explico detalhadamente o procedimento passo a passo que você aplicaria assim que tiver esses dados — com fórmulas, explicações e exemplos simbólicos — para que você consiga fazer a conta na prova.
Passo 2
Entendimento físico e escolha de interpretação do pedido (importante):
- A frase “componente tangencial da velocidade de entrada é zero” pode ser interpretada de duas formas:
- A componente tangencial da velocidade absoluta na entrada é zero:
(fluxo sem “whirl” na entrada). - A componente tangencial da velocidade relativa à pá na entrada é zero:
(fluxo chega à pá sem componente tangencial relativa).
- A componente tangencial da velocidade absoluta na entrada é zero:
- No contexto típico de problemas de rotores de bombas/turbinas, pedir o ângulo da pá para o qual “a componente tangencial da velocidade de entrada é zero” costuma significar a opção (1): a componente tangencial da velocidade absoluta na entrada é zero, isto é, o fluido chega puramente meridional/axial/ radial (dependendo da configuração) sem velocidade circumferencial absoluta.
- Vou adotar a interpretação (1) e explicar com essa hipótese. Se o seu problema original queria a interpretação (2), me avise (mas como você pediu sem dar mais dados, sigo a interpretação mais comum).
Conceitos e notações que usaremos (explicando cada coisa como em sala, passo a passo):
-
: vazão volumétrica (m³/s). -
: área de escoamento na entrada do rotor (m²). Se o escoamento for através de um anel com raio médio e altura (largura axial) , uma aproximação é Expliquei: esse é o perímetro vezes a altura . -
: componente meridional (ou axial) da velocidade absoluta média na entrada. É a componente responsável por transportar o fluxo. Calcula-se por Explicação: vazão é área vezes velocidade média perpendicular à área. -
: componente tangencial (circunferencial) da velocidade absoluta na entrada. Pela hipótese de trabalho aqui, -
: velocidade periférica da pá no raio considerado (tipicamente raio médio ). Se a rotação é rpm, então Explicação: é velocidade angular em rad/s, multiplicada por dá velocidade tangencial. - Velocidade relativa na entrada
é o vetor diferença entre velocidade absoluta do fluido e velocidade da pá: Em componentes (tangencial e meridional), se , então a componente tangencial relativa é (o sinal só indica direção), e a componente meridional relativa é . - Ângulo de entrada da pá
: é o ângulo entre a pá (mais precisamente a linha relativa da pá) e a direcção tangencial. Com as convenções usuais, esse ângulo satisfaz Como (quando ), obtemos a fórmula simples Interpretação prática: se o fluido entra sem componente tangencial absoluta, então a pá deve estar inclinada de modo que a velocidade relativa ao entrar esteja alinhada com a pá — isso dá a fórmula acima. É intuitivo: se é grande em relação a , o ângulo é mais aberto (próximo de ); se domina, o ângulo é pequeno (próximo de , ou seja, pá quase tangencial).
Observação sobre escala radial: se o rotor tem variação de raio significativa, costuma-se usar um raio médio
e a altura média
para aproximar
e
. Se o problema dá
e
e assume velocidade meridional uniforme, use raio médio
.
Passo 3
Cálculo da altura de carga teórica (passo a passo com Euler):
- Teorema de Euler para máquinas rotativas (forma prática): a altura de carga teórica
(em metros) fornecida por uma bomba (ou necessária por um rotor em entrada) é dada por onde: -
e são as velocidades periféricas nas seções de entrada e saída (tipicamente no raio correspondente), -
e são as componentes tangenciais (circunferenciais) das velocidades absolutas do fluido nas seções de entrada e saída, -
é a aceleração da gravidade.
-
- No nosso caso, adotando
, a expressão simplifica para Observação: se o rotor tem praticamente o mesmo raio na entrada e na saída (ou se usamos raio médio único ), então e - Como obter
? Depende das condições de saída que o Problema 10.5 deve fornecer. Possíveis caminhos: - Se o problema der o ângulo relativo de saída
(ângulo entre pá e tangente na saída) e a velocidade relativa de saída (ou sua componente meridional ), pode-se desenhar o triângulo de velocidades na saída e achar (com sinais conforme convenção). - Se o problema assumir um perfil de vorticidade (por exemplo, escoamento de vórtice livre
ou vórtice nulo ), então pode ser obtido por essa lei usando dados de raio. - Se houver condição de saída em que
é fornecido diretamente, basta usar.
- Se o problema der o ângulo relativo de saída
- Em resumo: para calcular
numericamente preciso de e (ou condições que permitam calcular ).
Passo 4
Cálculo da potência mecânica teórica de entrada:
- A potência teórica (hidráulica) associada à vazão e altura é
onde é a densidade do fluido (por exemplo, para água). - Se forem pedidas perdas mecânicas e rendimentos, aí haveria correções, mas o pedido foi “potência mecânica teórica de entrada”, então normalmente usamos a potência associada a
como acima. - Nota prática: às vezes se pede também a potência na árvore
. Aqui tomamos a potência teórica ideal como .
Passo 5
Resumo do procedimento prático que você deve aplicar na prova (passo a passo com a ordem das operações):
- Identifique/obtenha do Problema 10.5:
(ou , ), (altura da pá), (rpm) ou , e dados de saída que permitam achar (ângulos, leis de vorticidade, ou direto). Defina também e use se não informado. - Calcule a área de entrada:
(ou a área dada no enunciado). - Calcule a componente meridional média na entrada:
- Calcule a velocidade periférica:
- Calcule o ângulo de entrada da pá (para
): Dica prática: compute a razão antes de aplicar arctan; essa é uma conta simples de fazer sem calculadora aproximando arctan se necessário (ex.: se , ). - Determine
pela condição de saída do problema (triângulo de velocidade de saída, ou lei de vorticidade). Seja explícito com sinais e convenções (o termo deve ter sentido físico correto: sinais invertidos indicam trabalho gerado ou absorvido). - Calcule a altura teórica:
(com simplifica). - Calcule a potência teórica:
- Escreva as respostas e cheque unidades.
Passo 6
Exemplo simbólico rápido (sem números específicos do Problema 10.5) para deixar claro como fica tudo junto:
- Suponha que do Problema 10.5 você obtivesse (hipoteticamente)
, e . Então:
Se também tivesse, por exemplo,
dado, então
- Este bloco mostra que tudo é direto se você tem
, , , (ou condição equivalente). Sem esses números não dá para obter um número final.
Resposta
Não é possível fornecer os valores numéricos para o ângulo de entrada
, a altura de carga teórica
e a potência mecânica teórica
porque o enunciado do Problema 10.5, do qual este problema depende, não foi fornecido. Faltam dados essenciais tais como o(s) raio(s) do rotor (
ou
), a altura da pá
(ou área de entrada
), a velocidade de rotação
(ou
) e a condição/valor de
na saída (ou hipótese de distribuição de vorticidade).