10.53 Para a bomba e sistema de escoamento do Problema 10.52, calcule a vazão máxima para água quente a várias temperaturas e trace um gráfico de vazão versus temperatura da água. (Certifique-se de considerar a variação na massa específica quando a temperatura da água varia.)
Passo 1
O enunciado pede que você calcule a vazão máxima para água quente a várias temperaturas e trace um gráfico de vazão versus temperatura da água, considerando a variação da massa específica quando a temperatura varia.\n
Informações explícitas no enunciado que você me deu:\n
Informações explícitas no enunciado que você me deu:\n
- Pedido: calcular a vazão máxima (para cada temperatura) e plotar vazão versus temperatura.\n
- Observação: considerar a variação da massa específica
com a temperatura.\n
Informações necessárias que deveriam vir do Problema 10.52 (e que NÃO foram enviadas):\n - Curva da bomba: relação entre altura desenvolvida pela bomba
(geralmente em metros de coluna de água) e vazão volumétrica (por exemplo em ). Sem essa curva não há como achar a vazão de operação.\n - Dados do sistema de escoamento: altura estática (diferença de nível) e os termos de perda de carga (comprimento e diâmetro das tubulações, coeficientes de perdas localizadas, rugosidade, etc.) ou explicitamente a curva do sistema
. Sem isso não dá para montar a equação de equilíbrio bomba–sistema.\n - Qual a grandeza pedida: vazão volumétrica
(por ex. ) ou vazão mássica (por ex. )? O enunciado menciona massa específica, então provavelmente se quer em função da temperatura, mas isso precisa ficar claro no Problema 10.52.\n
Como o Problema 10.52 não foi enviado, não tenho a curva da bomba nem os parâmetros do sistema; portanto não é possível calcular numericamente as vazões solicitadas. Nos próximos passos eu explico em detalhe, passo a passo, exatamente o que você deve fazer — a teoria, as fórmulas e um exemplo ilustrativo com números hipotéticos para você ver como aplicar ao seu caso real quando tiver os dados do 10.52.
Passo 2
Princípio físico e equação de equilíbrio (o que resolve o problema):\n
- Em escoamentos bombeados, a vazão de operação
é encontrada pelo ponto de interseção entre a curva da bomba e a curva do sistema . Ou seja, a vazão satisfaz
- Aqui
é altura específica (energia por unidade de peso) expressa em metros (m). Essa é a forma usual porque dá energia por unidade de peso da água e é conveniente para comparar bomba e perdas.\n - A curva do sistema normalmente tem a forma (se houver perda por atrito dominante e uma queda estática
):
onde
é a perda de carga por atrito (e somatório de perdas localizadas) transformada em metros de coluna de água.\n
- Para perdas por atrito usando Darcy–Weisbach:
onde
é o fator de atrito,
comprimento,
diâmetro,
velocidade média do fluido, e
aceleração da gravidade. A velocidade está ligada à vazão volumétrica por
onde
é a área interna da tubulação.\n
- Observe que
está escrito em termos de energia por unidade de peso ( ), portanto não aparece explicitamente nessa expressão: perdas em metros de coluna são independentes da densidade, desde que você calcule corretamente e o fator seja determinado corretamente (que pode depender do número de Reynolds e, assim, da viscosidade). Isso é um ponto importante para entender como a massa específica entra no problema.
Passo 3
Como a massa específica
entra no problema e conversões úteis:\n
- Vazão volumétrica:
em .\n - Vazão mássica:
em . Relação simples:
onde
é a massa específica da água na temperatura
.\n
- Importante: se a curva da bomba
estiver dada em metros de coluna ( ) em função de volumétrico, ela é, em primeira aproximação, independente da densidade — isto é, a relação vs não muda quando muda. O que muda com é a vazão mássica resultante (porque ).\n - Se a curva da bomba for dada em termos de pressão
(Pa) vs , então a conversão entre pressão e altura é
Nesse caso, uma mudança de
altera a curva expressa em termos de altura, então o ponto de operação pode mudar. Por isso: verifique a forma que a curva da bomba é apresentada no enunciado 10.52.\n
- Caveats práticos: para água quente, também aumentam a pressão de vapor (risco de cavitação) e muda a viscosidade (o que altera o número de Reynolds e, portanto, o fator de atrito
), mas o enunciado pede explicitamente para considerar a variação da massa específica — eu vou focar nisso e apontar as correções adicionais que você deve considerar.
Passo 4
Procedimento passo a passo que você deve aplicar quando tiver os dados do Problema 10.52 (lista executável que você pode seguir na prova ou no trabalho):\n
- Recolha os dados do Problema 10.52: curva
da bomba (em metros de coluna ou em pressão — identificar unidades), e os parâmetros do sistema para montar (diferença de cota , , perdas localizadas, rugosidade, etc.).\n - Decida a forma das curvas: se
está em metros, use diretamente; se estiver em Pa, converta para metros com usando a apropriada de cada temperatura.\n - Monte a expressão do sistema
. Por exemplo, se perdas por atrito quadráticas dominam:
com
agrupando
e somatório de coeficientes de perdas locais. Escreva
explicitamente em função de
.\n
4. Para cada temperatura desejada:\n
a. Determine (e, se desejar maior precisão, a viscosidade
para ajustar
).\n
b. Se a curva da bomba estiver em metros, resolva numericamente (ou graficamente) a equação
4. Para cada temperatura
a. Determine
b. Se a curva da bomba estiver em metros, resolva numericamente (ou graficamente) a equação
para obter
— geralmente a solução para
é a interseção das curvas;
aqui é volumétrico.\n
c. Calcule a vazão mássica
c. Calcule a vazão mássica
d. Se a curva da bomba estiver em pressão (Pa), primeiro converta a curva da bomba para metros usando
e então proceda ao passo (b); nesse caso
pode mudar com
mesmo em termos volumétricos.\n
5. Reúna os pares (ou
se preferir volumétrica) e trace o gráfico com temperatura no eixo
e vazão no eixo
.\n
6. Verifique limites físicos: para água próxima de ebulição, cavitação pode reduzir fortemente a vazão; para cada verifique o NPSH disponível e requerido e a pressão de vapor — isso pode limitar a operação e deve ser considerado se as temperaturas forem altas.
5. Reúna os pares
6. Verifique limites físicos: para água próxima de ebulição, cavitação pode reduzir fortemente a vazão; para cada
Passo 5
Fórmulas e explicações didáticas das quantidades usadas (mão na massa, como fazer as contas na prova):\n
- Conversão entre vazões:\n
Explanação: aqui
é a massa de água que passa por segundo (em
),
é a massa por volume (
) à temperatura
, e
é o volume por segundo (
). Multiplicar dá
.\n
- Sistema com perda quadrática: se
então podemos escrever
onde
agrega constantes geométricas e
mais termos de perdas localizadas. Isso mostra que
cresce com
.\n
- Curva da bomba típica: costuma ser best-fit de forma quadrática ou cúbica:
(com
altura em vazio e
constante positiva). Na prova, você pode ter uma expressão ou pontos tabulados; use interpolação ou resolução numérica.\n
- Como resolver numericamente na mão (se necessário): isole tudo e resolva a equação algébrica resultante (por exemplo se
e , então
Daí
. Esse é um caso feliz com dependência quadrática; se as formas forem mais complicadas, use tentativa e erro ou uma pequena tabela e interpolação para achar a interseção.\n
- Se precisar transformar curva de pressão em curva de altura na prova, lembre:
Explanação:
em
. Dividir por
dá metros porque
.\n
Passo 6
Tabela prática de massa específica da água em temperaturas usuais (use esses valores no seu cálculo; eu não estou inventando o problema — são propriedades físicas tabeladas):\n
-
\n -
\n -
\n -
\n -
\n
Esses valores são suficientes para ver o efeito numérico da variação desobre a vazão mássica. Note que a densidade varia só alguns por cento entre 20 e .\n
Passo 7
Exemplo ilustrativo (HIPOTÉTICO) para você entender os cálculos: suponha que, no Problema 10.52, a interseção
tenha resultado em uma vazão volumétrica máxima (única)
. (ATENÇÃO: eu estou assumindo esse
só para exemplificar o procedimento — você deve substituir pelo
que obtiver a partir dos dados reais do 10.52.)\n
Com os valores de da Tabela do Passo 6, calcule
:\n
Com os valores de
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Interpretação: como
(volumétrico) foi assumido constante, a vazão mássica cai quase linearmente com a densidade conforme a temperatura sobe. Esses números são só ilustrativos — use os
reais obtidos do equilíbrio bomba–sistema do seu problema.\n
Passo 8
Como traçar o gráfico e dicas práticas (na prova ou no computador):\n
- Eixo
: temperatura (por exemplo a ).\n - Eixo
: escolha entre ( ) ou ( ). Como pediram para considerar , provavelmente querem .\n - Pontos: para cada
, determine conforme Passo 4 e calcule . Plote os pontos e una por linhas suaves.\n - Se a curva da bomba não muda com
(isto é, está em metros), então os volumétricos são praticamente os mesmos para todas as temperaturas e o gráfico vs será proporcional à (quase linear decrescente). Se a curva da bomba for dada em pressão, converta e re-calcule: então pode variar mais complexamente.\n - Ferramentas: numa prova, faça uma tabela e desenhe à mão; no computador use Excel, Python/Matplotlib, etc.\n
Passo 9
Outros efeitos que você deve considerar (para não ser pego de surpresa):\n
- Cavitação e NPSH: água quente tem maior pressão de vapor; se a pressão local cair abaixo da pressão de vapor, a bomba entra em cavitação e a vazão real diminui ou a bomba pode danificar-se. O enunciado 10.52 pode ter dados de NPSH requerido; verifique e aplique para cada temperatura.\n
- Viscosidade e fator de atrito: mudança da viscosidade altera o número de Reynolds e, portanto,
; isso muda ligeiramente. Para uma primeira aproximação, variar só já dá boa ideia do efeito sobre .\n - Unidades: sempre verifique se a curva da bomba está em
ou e se está em ou . Converta tudo para unidades coerentes antes das contas (por ex. e ).\n
Passo 10
O que eu preciso que você me envie (ou verifique no Problema 10.52) para eu calcular numericamente e construir o gráfico para você:\n
- A curva
da bomba (tabela de pontos ou expressão matemática) e as unidades em que está (m ou Pa) e a unidade de .\n- Os dados do sistema: (altura estática), comprimento e diâmetro das tubulações, coeficientes de perdas localizadas, rugosidade, enfim tudo que permita montar ou a própria curva .\n- As temperaturas específicas em que você quer a vazão (por exemplo 20, 40, 60, 80 e ).\n
Com esses dados eu faço as contas numéricas passo a passo, mostro todas as etapas e entrego o gráfico final.\n
Resposta
Não é possível calcular numericamente a vazão máxima nem traçar o gráfico porque o Problema 10.52 (curva da bomba e dados do sistema) não foi fornecido. Para resolver numericamente, envie a curva
e os parâmetros do sistema (ou a curva
); então aplicarei o procedimento descrito acima e entregarei as vazões para cada temperatura e o gráfico.