[10.2] Calcule o comprimento da curva:
[43] x=t sen(t), y=t cos (t) ; 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada por
x(t)=tsin(t), y(t)=tcos(t), 0<= t<=1
e pede o comprimento de arco. O conteúdo envolvido é o cálculo de comprimento de curva paramétrica, que usa a fórmula
L=integrala^braizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2;dt

Passo 2

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
x'(t)=sin(t)+tcos(t), y'(t)=cos(t)-tsin(t)

Passo 3

Montamos o integrando:
l(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =(sin t + tcos t)^2+(cos t - tsin t)^2
Desenvolvendo e somando, os termos cruzados se cancelam e usamos sin^2t+cos^2t=1, obtendo
(sin t + tcos t)^2+(cos t - tsin t)^2 =1+t^2
Logo o integrando fica raiz1+t^2.

Passo 4

O comprimento de arco é
L=integral0^1raiz1+t^2;dt
Para integrar usamos a primitiva conhecida
integralraiz1+t^2,dt =12l(traiz1+t^2+lnl(t+raiz1+t^2r)r)+C
Assim
L =[12l(traiz1+t^2+ln(t+raiz1+t^2)r)]0^1

Passo 5

Avaliaremos em t=1 e em t=0:
em t=1 vem
tfrac12l(1cdotraiz2+ln(1+raiz2)r),
e em t=0 ambos os termos são zero. Logo
L=raiz2+lnl(1+raiz2r)2

Resposta

boxedL=raiz2+lnl(1+raiz2r)2

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