Considere a EDO de Airy (1801-1892) sobre ótica
y^primeprime-x y=0
com y(0)=y0 e y^prime(0)=y0^prime

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma equação diferencial chamada EDO de Airy: y'' - x y = 0 . O problema dá duas condições iniciais, ou seja, os valores de y e sua derivada y' quando x = 0 . Vamos resolver essa EDO usando funções especiais conhecidas como funções de Airy, que são soluções padrão para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma EDO de segunda ordem com coeficientes variáveis, como essa, geralmente tem soluções que não são funções simples como polinômios ou exponenciais. No caso da EDO de Airy, as soluções são as funções de Airy, denotadas por Ai(x) e Bi(x) . Assim, a solução geral da equação é:
y(x) = C1 , Ai(x) + C2 , Bi(x)
Aqui, C1 e C2 são constantes que a gente precisa determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições iniciais dadas: y(0) = y0 e y'(0) = y0' . Primeiro, substituímos x = 0 na solução geral:
y(0) = C1 , Ai(0) + C2 , Bi(0) = y0
E para a derivada:
y'(0) = C1 , Ai'(0) + C2 , Bi'(0) = y0'

Passo 4

Precisamos saber os valores de Ai(0) , Bi(0) , Ai'(0) e Bi'(0) . Esses valores são conhecidos:
  • Ai(0) approx 0.355028
  • Bi(0) approx 0.614927
  • Ai'(0) approx -0.258819
  • Bi'(0) approx 0.448288

Passo 5

Com esses valores, montamos um sistema de equações para resolver C1 e C2 :
0.355028 , C1 + 0.614927 , C2 = y0 -0.258819 , C1 + 0.448288 , C2 = y0'

Passo 6

Resolvendo esse sistema de equações, a gente encontra os valores de C1 e C2 em termos de y0 e y0' . Isso envolve operações básicas de álgebra, como multiplicar uma equação por um coeficiente para eliminar uma das incógnitas e depois resolver para a outra.

Resposta

A solução da EDO de Airy dada pelas condições iniciais y(0) = y0 e y'(0) = y0' é:
y(x) = C1 , Ai(x) + C2 , Bi(x)
onde C1 e C2 são constantes determinadas a partir das condições iniciais.

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