Escreva uma EDO com coeficientes variáveis e resolva-a, indicando o intervalo de convergência da solução.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem com coeficientes variáveis
que está na forma padrão
com
e
. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
O fator integrante
é definido por
Em um intervalo onde
podemos tomar
; em
,
. Vamos trabalhar em
e usar
.
Passo 3
Multiplicando a equação original por
fica
Mas isso é exatamente a derivada do produto
, pois
Logo podemos reescrever como
Passo 4
Integramos ambos os lados em
:
onde
é constante de integração. Assim
Passo 5
Para saber onde essa solução vale, usamos o teorema de existência e unicidade: precisamos de
e
contínuas no intervalo. Aqui
não é contínua em
, mas é contínua em qualquer intervalo sem o zero. Portanto a solução
é válida em cada um dos intervalos
ou
.
Resposta
A solução geral da EDO
é
válida em
se escolhermos
(ou em
se optarmos por
).