Escreva uma EDO com coeficientes variáveis e resolva-a, indicando o intervalo de convergência da solução.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem com coeficientes variáveis
y' - 1x,y = x^2,
que está na forma padrão
y' + p(x),y = q(x)
com p(x) = -tfrac1x e q(x) = x^2. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

O fator integrante mu(x) é definido por
mu(x) = exp!l(integral p(x),dxr) = exp!l(integral -tfrac1x,dxr) = exp(-ln|x|) = 1|x|
Em um intervalo onde x>0 podemos tomar mu(x)=1/x; em x<0, mu(x)=-1/x. Vamos trabalhar em x>0 e usar mu(x)=1/x.

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=1/x fica
1x,y' - 1x^2,y = x
Mas isso é exatamente a derivada do produto y/x, pois
ddxl(yxr) = 1xy' - 1x^2y
Logo podemos reescrever como
ddxl(yxr) = x

Passo 4

Integramos ambos os lados em x:
yx = integral x,dx = x^22 + C,
onde C é constante de integração. Assim
y(x) = xl(tfracx^22 + Cr) = x^32 + C,x

Passo 5

Para saber onde essa solução vale, usamos o teorema de existência e unicidade: precisamos de p(x) e q(x) contínuas no intervalo. Aqui p(x)=-1/x não é contínua em x=0, mas é contínua em qualquer intervalo sem o zero. Portanto a solução
y(x) = x^32 + C,x
é válida em cada um dos intervalos (0,infty) ou (-infty,0).

Resposta

A solução geral da EDO
y' - 1xy = x^2
é
y(x) = x^32 + C,x,
válida em (0,infty) se escolhermos x>0 (ou em (-infty,0) se optarmos por x<0).

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