[10.2:25] Mostre que a curva
x=cos (t), y=sen(t) cos (t)
tem duas tangentes no ponto (0,0) e encontre suas equações. Esboce a curva.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica (x(t),y(t)) com
x(t)=cos(t), y(t)=sin(t)cos(t)
Queremos determinar as tangentes no ponto (0,0). Para isso usaremos a fórmula
dydx=dydtdxdt

Passo 2

Encontrar os valores de t tais que
x(t)=0, y(t)=0
Como x(t)=cos(t), impõe-se cos(t)=0, ou seja
t=pi2+kpi, kinZ
Para esses t tem-se também sin(t)cos(t)=0, de modo que em [0,2pi) os valores são
t1=pi2, t2=3pi2

Passo 3

Calcular as derivadas:
dxdt=-sin(t), dydt=cos^2(t)-sin^2(t)=cos(2t)
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dydx =cos(2t)-sin(t)

Passo 4

Avaliar em t1 e t2:
Para t1=tfracpi2 temos sin t1=1, cos(2t1)=cospi=-1, então
m1 =-1-1 =1
Para t2=tfrac3pi2 temos sin t2=-1, cos(2t2)=cos3pi=-1, então
m2 =-11 =-1
Como passam por (0,0), as equações das tangentes são
y=x e y=-x

Passo 5

Para esboçar a curva eliminamos t. Como cos^2(t)=x^2 e sin^2(t)=1-x^2, temos
y^2 =sin^2(t)cos^2(t) =x^2(1-x^2),
que descreve dois laços simétricos interseccionando-se em (0,0) com tangentes y=pm x.

Resposta

As duas tangentes no ponto (0,0) são
y = x e y = -x

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