Encontrar as soluções por séries de potências e investigar as convergências
y^prime-y-x^2=0, com y(0)=-2
R. y(x)=-2-2 x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial y' - y - x^2 = 0 com a condição inicial y(0) = -2 . O conteúdo que vamos usar aqui são séries de potências, que são como somas infinitas de termos envolvendo potências de x . Para resolver isso, vamos assumir que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potências e encontrar os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) pode ser expressa como uma série de potências:
y(x) = sumn=0^infty an x^n = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + dots
Essa forma nos permite trabalhar com cada termo de forma separada.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de y(x) em relação a x :
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x^2 + 4 a4 x^3 + dots
Isso é importante porque vamos substituir y e y' na equação original.

Passo 4

Substituindo y e y' na equação y' - y - x^2 = 0 , temos:
( a1 + 2 a2 x + 3 a3 x^2 + dots ) - ( a0 + a1 x + a2 x^2 + dots ) - x^2 = 0
Vamos reorganizar os termos para facilitar a comparação dos coeficientes.

Passo 5

Agrupando os termos semelhantes:
(a1 - a0) + (2 a2 - a1) x + (3 a3 - a2 - 1) x^2 + dots = 0
Para que essa igualdade valha para todo x , cada coeficiente deve ser igual a zero.

Passo 6

Igualando cada coeficiente a zero:
a1 - a0 = 0 2 a2 - a1 = 0 3 a3 - a2 - 1 = 0 vdots
Vamos resolver essas equações para encontrar os coeficientes an .

Passo 7

Sabemos que y(0) = -2 , então quando x = 0 , y(0) = a0 = -2 .

Passo 8

Usando a0 = -2 na primeira equação:
a1 - (-2) = 0 implies a1 = -2

Passo 9

Usando a1 = -2 na segunda equação:
2 a2 - (-2) = 0 implies 2 a2 + 2 = 0 implies a2 = -1

Passo 10

Usando a2 = -1 na terceira equação:
3 a3 - (-1) - 1 = 0 implies 3 a3 + 1 - 1 = 0 implies 3 a3 = 0 implies a3 = 0
E assim por diante, todos os coeficientes seguintes serão zero.

Passo 11

Portanto, a série de potências fica:
y(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + dots = -2 - 2x - x^2
Como todos os coeficientes além de a2 são zero, a série termina aqui.

Resposta

A solução da equação diferencial é y(x) = -2 - 2x - x^2 , válida para todo x .

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