Encontrar as soluções por séries de potências e investigar as convergências , com
R.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial com a condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui são séries de potências, que são como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Para resolver isso, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências e encontrar os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução pode ser expressa como uma série de potências:
Essa forma nos permite trabalhar com cada termo de forma separada.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso é importante porque vamos substituir e na equação original.
Passo 4
Substituindo e na equação , temos:
Vamos reorganizar os termos para facilitar a comparação dos coeficientes.
Passo 5
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade valha para todo , cada coeficiente deve ser igual a zero.
Passo 6
Igualando cada coeficiente a zero:
Vamos resolver essas equações para encontrar os coeficientes an .
Passo 7
Sabemos que y(0) = -2 , então quando x = 0 , y(0) = a0 = -2 .