Z=10 X_{1}+20 X_{2}+30 X_{3} [máx]
Sujeito a:
2 \mathrm{X}_{1}+2 \mathrm{X}_{2}+4 \mathrm{X}_{3}<=300
4 \mathrm{X}_{2}+3 \mathrm{X}_{3}<=200
\mathrm{X}_{1}<=20
4 \mathrm{X}_{1}+3 \mathrm{X}_{2}<=50
\mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2}, \mathrm{X}_{3}>=0
Apresentar todos os cálculos e raciocínios.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar
Z = 10X_{1} + 20X_{2} + 30X_{3}
sujeito a
\begin{cases} 2X_{1}+2X_{2}+4X_{3}\le 300,\\\\ 4X_{2}+3X_{3}\le 200,\\\ X_{1}\le 20,\\\\ 4X_{1}+3X_{2}\le 50,\\\ X_{1},X_{2},X_{3}\ge0. \end{cases}
Este é um problema de programação linear que vamos resolver pelo método Simplex.

Passo 2

Transformamos as inequações em igualdades introduzindo variáveis-folga s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}\ge0\): \[\begin{cases} 2X_{1}+2X_{2}+4X_{3}+s_{1}=300,\\\ \phantom{2}0X_{1}+4X_{2}+3X_{3}+s_{2}=200,\\\ X_{1}+s_{3}=20,\\\\ 4X_{1}+3X_{2}+s_{4}=50. \end{cases}
O ponto inicial (BFS) é X_{1}=X_{2}=X_{3}=0\], \(s_{1}=300, s_{2}=200, s_{3}=20, s_{4}=50, com Z=0.

Passo 3

Montamos a linha de custos reduzidos para decidir a primeira variável que entra. Os coeficientes de X_{1},X_{2},X_{3} em Z são 10,20,30; o maior é 30, logo X_{3} entra. As razões
\frac{300}{4}=75,\quad\frac{200}{3}\approx66{,}67,\quad\frac{20}{0}=\infty,\quad\frac{50}{0}=\infty
mostram que s_{2} sai. Fazemos o pivô na linha de s_{2}, coluna de X_{3}. Após esse pivoteamento, o valor de Z na base passa a ser 2000 e o custo reduzido de X_{1} fica -10.

Passo 4

Como o custo reduzido de X_{1} é -10<0, X_{1} entra na base. Calculamos as razões na coluna de X_{1} do tableau corrente:
\frac{100/3}{2}\approx16{,}67,\quad\frac{66{,}67}{0}=\infty,\quad\frac{20}{1}=20,\quad\frac{50}{4}=12{,}5.
A menor razão é 12{,}5, então s_{4} sai. Pivotamos na linha de s_{4}, dividindo-a por 4 e zerando X_{1} nas outras linhas.

Passo 5

Depois desse segundo pivô, todos os custos reduzidos de variáveis não-básicas ficam \ge0, o que satisfaz o critério de otimalidade do Simplex. O valor de Z na base é
Z_{\max}=2125.

Resposta

X_{1} = 12{,}5,\quad X_{2} = 0,\quad X_{3} = \tfrac{200}{3},\quad Z_{\max} = 2125.

Exercícios relacionados