Dê exemplos de:
(d) Grupo que é gerado no mínimo por 4 elementos.
(d) Grupo que é gerado no mínimo por 4 elementos.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de grupo que não possa ser gerado por menos de quatro elementos, isto é, cuja menor base de geração tenha tamanho exatamente quatro. O conteúdo envolvido é teoria de grupos e conjuntos geradores (ou “rank” do grupo, no caso abeliano livre ou vetorial).
Passo 2
Lembrando que, para um grupo
, um conjunto
gera
se todo elemento de
pode ser escrito como produto (ou combinação) dos elementos de
e seus inversos. Dizemos que
é minimal se nenhum subconjunto próprio de
gera
. O número mínimo de geradores de
é o menor tamanho de um conjunto minimal.
Passo 3
Considere o grupo livre abeliano de rank 4,
Sabemos que cada
é um
-módulo livre de dimensão
. Logo qualquer conjunto de menos de
vetores em
gera um submódulo de dimensão menor que
, portanto não atinge todos os elementos de
. Em particular, para gerar
precisamos de pelo menos quatro geradores independentes, por exemplo
Esse conjunto é minimal e tem tamanho 4.
Passo 4
Outro exemplo clássico é o grupo elementar abeliano de exponent 2 e dimensão 4 como espaço vetorial sobre
:
Aqui
é um
-espaço vetorial de dimensão 4, então sua base precisa de 4 vetores. Qualquer conjunto com menos de 4 elementos gera um subespaço de dimensão
e, portanto, um subconjunto de
com
elementos, insuficiente para cobrir os
de
. Assim o número mínimo de geradores é 4.
Resposta
Um exemplo é
pois seu rank é 4 e não pode ser gerado por menos de quatro elementos.
Outro exemplo é
Outro exemplo é
vetor espaço de dimensão 4 sobre
, cujo número mínimo de geradores também é 4.