Dê exemplos de:
(d) Grupo que é gerado no mínimo por 4 elementos.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de grupo que não possa ser gerado por menos de quatro elementos, isto é, cuja menor base de geração tenha tamanho exatamente quatro. O conteúdo envolvido é teoria de grupos e conjuntos geradores (ou “rank” do grupo, no caso abeliano livre ou vetorial).

Passo 2

Lembrando que, para um grupo G, um conjunto S\subseteq G gera G se todo elemento de G pode ser escrito como produto (ou combinação) dos elementos de S e seus inversos. Dizemos que S é minimal se nenhum subconjunto próprio de S gera G. O número mínimo de geradores de G é o menor tamanho de um conjunto minimal.

Passo 3

Considere o grupo livre abeliano de rank 4,
G = \mathbb{Z}^4.
Sabemos que cada \mathbb{Z}^n é um \mathbb{Z}-módulo livre de dimensão n. Logo qualquer conjunto de menos de 4 vetores em \mathbb{Z}^4 gera um submódulo de dimensão menor que 4, portanto não atinge todos os elementos de \mathbb{Z}^4. Em particular, para gerar G precisamos de pelo menos quatro geradores independentes, por exemplo
e_{1}=(1,0,0,0),\; e_{2}=(0,1,0,0),\; e_{3}=(0,0,1,0),\; e_{4}=(0,0,0,1).
Esse conjunto é minimal e tem tamanho 4.

Passo 4

Outro exemplo clássico é o grupo elementar abeliano de exponent 2 e dimensão 4 como espaço vetorial sobre \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}:
H = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4.
Aqui H é um \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}-espaço vetorial de dimensão 4, então sua base precisa de 4 vetores. Qualquer conjunto com menos de 4 elementos gera um subespaço de dimensão \le3 e, portanto, um subconjunto de H com \le 2^3=8 elementos, insuficiente para cobrir os 16 de H. Assim o número mínimo de geradores é 4.

Resposta

Um exemplo é \mathbb{Z}^4, pois seu rank é 4 e não pode ser gerado por menos de quatro elementos.
Outro exemplo é
(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4,
vetor espaço de dimensão 4 sobre \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, cujo número mínimo de geradores também é 4.

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