Construa a tabela do grupo das simetrias do quadrado e encontre as soluções da equação
.
Passo 1
O enunciado pede para construir a tabela de multiplicação do grupo das simetrias do quadrado (o diédro
de ordem 8) e, a partir dela, resolver a equação
O conteúdo é teoria de grupos finitos, em particular o grupo diédrico
gerado por uma rotação
de
e uma reflexão
.
Passo 2
Os elementos de
podem ser escritos como
com as relações
Dessas regras segue que
Passo 3
A tabela de multiplicação (Cayley) é:
Passo 4
Agora resolvemos
.
– Se então
.
– Se então
, logo
.
Portanto todo elemento de satisfaz
.
– Se
– Se
Portanto todo elemento de
Resposta
As soluções da equação
em
são todos os oito elementos