(1,0) Construa a tabela do grupo das simetrias do quadrado e encontre as soluções da equação x^{4}=e.

Passo 1

O enunciado pede para construir a tabela de multiplicação do grupo das simetrias do quadrado (o diédro D_{4} de ordem 8) e, a partir dela, resolver a equação
x^{4} = e.
O conteúdo é teoria de grupos finitos, em particular o grupo diédrico D_{4} gerado por uma rotação r de 90^\circ e uma reflexão s.

Passo 2

Os elementos de D_{4} podem ser escritos como
\{\,e,\;r,\;r^{2},\;r^{3},\;s,\;sr,\;sr^{2},\;sr^{3}\},
com as relações
r^{4}=e,\quad s^{2}=e,\quad sr = r^{-1}s = r^{3}s.
Dessas regras segue que
r^{i}r^{j}=r^{i+j\pmod4},\quad r^{i}s=s\,r^{-i},\quad (sr^{i})(sr^{j})=r^{i-j\pmod4}.

Passo 3

A tabela de multiplicação (Cayley) é:
\begin{array}{c|cccccccc} \cdot & e & r & r^{2} & r^{3} & s & sr & sr^{2} & sr^{3}\\\ \hline e & e & r & r^{2} & r^{3} & s & sr & sr^{2} & sr^{3}\\\ r & r & r^{2} & r^{3} & e & sr^{3} & s & sr & sr^{2}\\\ r^{2}& r^{2} & r^{3} & e & r & sr^{2} & sr^{3} & s & sr\\\ r^{3}& r^{3} & e & r & r^{2} & sr & sr^{2} & sr^{3} & s\\\ s & s & sr & sr^{2} & sr^{3} & e & r & r^{2} & r^{3}\\\ sr & sr & sr^{2} & sr^{3} & s & r^{3} & e & r & r^{2}\\\ sr^{2}& sr^{2} & sr^{3} & s & sr & r^{2} & r^{3} & e & r\\\ sr^{3}& sr^{3} & s & sr & sr^{2} & r & r^{2} & r^{3} & e \end{array}

Passo 4

Agora resolvemos x^{4}=e.
– Se x=r^{k} então x^{4}=(r^{k})^{4}=r^{4k}=e.
– Se x=sr^{k} então (sr^{k})^{2}=e, logo (sr^{k})^{4}=((sr^{k})^{2})^{2}=e.
Portanto todo elemento de D_{4} satisfaz x^{4}=e.

Resposta

As soluções da equação x^{4}=e em D_{4} são todos os oito elementos
\{\,e,\;r,\;r^{2},\;r^{3},\;s,\;sr,\;sr^{2},\;sr^{3}\}.

Exercícios relacionados