calcule \int x \cdot \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral \displaystyle \int x \cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo é integração por substituição, já que dentro do cosseno está uma função x^{2} cuja derivada aparece multiplicando.

Passo 2

Fazemos a troca de variável \displaystyle u = x^{2},
logo \displaystyle du = 2x\,dx
e, portanto, \displaystyle x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int x \cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
recebemos
\int \cos(u)\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\sin(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos u = x^{2}, então
\frac{1}{2}\sin(u) + C = \frac{1}{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) + C

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