[10.1:51] As curvas com equações paramétricas
são chamadas de figuras de Lissajous. Investigue computacionalmente como essas curvas mudam quando
e
variam. (Tome
como um inteiro positivo).
Passo 1
O enunciado nos dá as curvas de Lissajous definidas parametricamente por
onde
,
e
é inteiro positivo, e nos pede para investigar computacionalmente como a forma da curva varia quando mudamos
,
e
. O conteúdo aqui envolve curvas paramétricas e no mínimo precisamos de um software (por exemplo Python/Matplotlib, MATLAB, GeoGebra) para traçar
em
e ver o efeito das variações.
Passo 2
Estratégia de plotagem: discretizo
uniformemente em
, calculo
para cada
, e depois faço um plot
. Mantendo
e
, posso examinar o efeito de
.
Passo 3
Variação de
:
- Se
, obtemos uma elipse ortogonal aos eixos, com semieixos e . - Se
, surge uma figura em “8” (dois lóbulos), pois oscila duas vezes enquanto faz uma oscilação completa. - De modo geral, para
, a curva fecha em e apresenta lóbulos horizontais.
Passo 4
Variação de
e
:
-
controla a largura dos lóbulos em -direção. Se cresce, os lóbulos se esticam horizontalmente. -
controla a altura em -direção. Se cresce, toda a figura se estica verticalmente. - A razão
define a “proporção” da curva; por exemplo, para os lóbulos têm o dobro da largura em relação à altura.
Passo 5
Combinando efeitos:
- Fixo
e vario : mudo apenas a forma de cada lóbulo, sem alterar o número de lóbulos. - Fixo
e vario : mantenho a proporção dos lóbulos, mas aumento ou diminuo o número deles.
Resposta
A curva de Lissajous
fecha em
para todo inteiro
. O parâmetro
determina o número de lóbulos horizontais (sendo
uma elipse,
um “8” de dois lóbulos etc.). Os parâmetros
e
são fatores de escala nos eixos
e
, respectivamente, e definem a proporção e o alongamento da curva.