[10.1:51] As curvas com equações paramétricas
x=a sen(k t), y=b cos (t)
são chamadas de figuras de Lissajous. Investigue computacionalmente como essas curvas mudam quando a, b e k variam. (Tome k como um inteiro positivo).

Passo 1

O enunciado nos dá as curvas de Lissajous definidas parametricamente por
x = a,sin(k,t), y = b,cos(t),
onde a>0, b>0 e k é inteiro positivo, e nos pede para investigar computacionalmente como a forma da curva varia quando mudamos a, b e k. O conteúdo aqui envolve curvas paramétricas e no mínimo precisamos de um software (por exemplo Python/Matplotlib, MATLAB, GeoGebra) para traçar (x(t),y(t)) em tin[0,2pi] e ver o efeito das variações.

Passo 2

Estratégia de plotagem: discretizo t uniformemente em [0,2pi], calculo
xi = a,sin(k,ti), yi = b,cos(ti)
para cada ti, e depois faço um plot (xi,yi). Mantendo b=1 e a=1, posso examinar o efeito de k=1,2,3,4,dots.

Passo 3

Variação de k:
  • Se k=1, obtemos uma elipse ortogonal aos eixos, com semieixos a e b.
  • Se k=2, surge uma figura em “8” (dois lóbulos), pois x oscila duas vezes enquanto y faz uma oscilação completa.
  • De modo geral, para kinN, a curva fecha em t=2pi e apresenta k lóbulos horizontais.

Passo 4

Variação de a e b:
  • a controla a largura dos lóbulos em x-direção. Se a cresce, os lóbulos se esticam horizontalmente.
  • b controla a altura em y-direção. Se b cresce, toda a figura se estica verticalmente.
  • A razão a/b define a “proporção” da curva; por exemplo, para ,a:b=2:1 os lóbulos têm o dobro da largura em relação à altura.

Passo 5

Combinando efeitos:
  • Fixo k e vario a/b: mudo apenas a forma de cada lóbulo, sem alterar o número de lóbulos.
  • Fixo a/b e vario k: mantenho a proporção dos lóbulos, mas aumento ou diminuo o número deles.

Resposta

A curva de Lissajous
x=a,sin(k,t), y=b,cos(t)
fecha em t=2pi para todo inteiro k. O parâmetro k determina o número de lóbulos horizontais (sendo k=1 uma elipse, k=2 um “8” de dois lóbulos etc.). Os parâmetros a e b são fatores de escala nos eixos x e y, respectivamente, e definem a proporção e o alongamento da curva.

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