Encontre c tal que fmed=f(c).
(i) f(x)=(x-3)^2,[2,5]
(ii) f(x)=1x,[1,3]
(iii) f(x)=2 sin (x)-sin (2 x),[0, pi]

Passo 1

Estamos procurando, para cada função contínua f em [a,b], um ponto cin[a,b] tal que
fmed = f(c),
onde o valor médio de f em [a,b] é
fmed = 1b - a integrala^b f(x),dx
Logo, em cada caso calculamos integrala^bf(x),dx, obtemos fmed e resolvemos a equação f(c)=fmed para cin[a,b].

Passo 2

(i) f(x)=(x-3)^2 em [2,5].
integral2^5(x-3)^2,dx = l[tfrac(x-3)^33r]2^5 = 83 - l(-tfrac13r) =3
Como b-a=5-2=3,
fmed = 33 = 1
Resolvendo (c-3)^2 = 1
c - 3 = pm1 Longrightarrow c = 2 ou c = 4,
ambos pertencentes a [2,5].

Passo 3

(ii) f(x)=tfrac1x em [1,3].
integral1^31x,dx = l[ln(x)r]1^3 = ln(3)
Como b-a=3-1=2,
fmed = ln(3)2
Resolvendo tfrac1c = tfracln(3)2
c = 2ln(3),
que está em [1,3].

Passo 4

(iii) f(x)=2sin(x)-sin(2x) em [0,pi].
integral0^pi l(2sin x - sin(2x)r),dx = l[-2cos xr]0^pi - l[-tfraccos(2x)2r]0^pi = (2+2) - 0 =4
Como b-a=pi,
fmed = 4pi
Precisamos resolver
2sin(c) - sin(2c) = 4pi
em [0,pi]. Numericamente, há duas soluções aproximadas
c approx 1,24e c approx 2,81 (radianos)

Resposta

(i) c = 2 ou c = 4.
(ii) c = dfrac2ln(3).
(iii) c approx 1,24 e c approx 2,81 (radianos).

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