[10.6] Determine a excentricidade, identifique a cônica, dê a equação de uma diretriz e faça um esboço da cônica:
[14] r=16+2 cos (theta)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a cônica dada em coordenadas polares
r = 16 + 2cos(theta),
determinando sua excentricidade, identificando o tipo de cônica, encontrando a equação de uma diretriz e esboçando sua forma. O conteúdo aqui é a forma padrão de cônicas em coordenadas polares
r = e,d1 + ecos(theta) ou r = e,d1 - ecos(theta),
onde e é a excentricidade e d a distância da diretriz ao polo.

Passo 2

Vamos converter a equação em forma padrão. Começamos escrevendo
r = 16 + 2cos(theta) = 12,(3 + cos(theta)) = tfrac161 + tfrac13cos(theta)
Comparando com
r = e,d1 + ecos(theta),
vemos que
e,d = 16, e = 13
Logo
d = e,de = tfrac16tfrac13 = tfrac12

Passo 3

Como e = tfrac13 < 1, a cônica é uma ELIPSE com foco no polo.

Passo 4

Na forma
r = e,d1 + ecos(theta),
a diretriz associada fica dada por
x = -d
Portanto, uma diretriz é
x = -tfrac12

Passo 5

Para esboçar, note que
rmin = 16 + 2cdot1 = 18, rmax = 16 + 2cdot(-1) = 14
Isso significa que o ponto mais próximo do foco (polo) está a r=1/8 na direção theta=0 e o mais afastado a r=1/4 em theta=pi. Com isso desenha-se uma elipse com foco em O (origem), eixo maior horizontal, vértices aproximadamente em (1/8,0) e (-1/4,0), e diretriz x=-tfrac12.

Resposta

Excentricidade e = tfrac13.
É uma elipse.
Uma diretriz é x = -tfrac12.
Esboço: elipse de foco em O, eixo maior horizontal, vértices aproximados em (1/8,0) e (-1/4,0).

Exercícios relacionados