A constante de equilibrio k de uma reação química equilibrada varia com a temperatura absoluta T, de acordo com a lei
k=k0 exp (-q(T-T0)2 T0 T)
onde k0 q e T0 são constantes. Encontre a taxa de variação de k em relação a T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre como a constante de equilíbrio k muda com a temperatura absoluta T . A gente vai precisar usar noções de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a taxa de variação de k em relação a T . Basicamente, queremos descobrir como k muda quando T muda um pouquinho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que relaciona k e T :
k = k0 exp( -q (T - T0)2 T0 T )
Aqui, k0 , q e T0 são constantes. Nosso objetivo é encontrar dkdT , ou seja, a derivada de k em relação a T .

Passo 3

Para encontrar dkdT , vamos usar a regra da cadeia, já que k é uma função exponencial de outra função de T . A regra da cadeia nos diz que se temos y = f(g(T)) , então dydT = f'(g(T)) cdot g'(T) .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à nossa fórmula:
dkdT = k0 cdot exp( -q (T - T0)2 T0 T ) cdot ( -q2 T0 T cdot (T0 - (T - T0))T^2 )
Mas vamos simplificar isso passo a passo para ficar mais claro.

Passo 5

Primeiro, identifiquemos a parte dentro do exponencial como uma função u(T) :
u(T) = -q (T - T0)2 T0 T
Agora, precisamos achar a derivada de u(T) em relação a T , ou seja, u'(T) .

Passo 6

Vamos calcular u'(T) :
u'(T) = ddT ( -q (T - T0)2 T0 T )
Isso pode ser simplificado:
u'(T) = -q2 T0 cdot ddT ( T - T0T )

Passo 7

Agora, vamos derivar T - T0T :
ddT ( T - T0T ) = (1)(T) - (T - T0)(1)T^2 = T - (T - T0)T^2 = T0T^2

Passo 8

Voltando à derivada de u(T) :
u'(T) = -q2 T0 cdot T0T^2 = -q2 T^2

Passo 9

Agora, aplicando a regra da cadeia para a função exponencial:
dkdT = k cdot u'(T) = k cdot ( -q2 T^2 ) = -q k2 T^2

Resposta

A taxa de variação de k em relação a T é:
dkdT = -q k2 T^2

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