Calcule as seguintes integrais curvilíneas de segunda espécie.
a)
integralC(x^2-2 x y) d x+(2 x y+y^2) d y, onde C é o arco da parábola y=x^2 do ponto A(1,1) ao ponto B(2,4).
b)
integralC(2 a-y) d x+x d y, onde C é o primeiro arco da ciclóide x=a(t-sen t), y=a(1-cos t), percorrido no sentido de crescimento do parâmetro t.
c)
integralC (x+y) d x-(x-y) d yx^2+y^2, onde C é a circunferência x^2+y^2=a^2, percorrida no sentido anti-horário.
d)
integralC y^2 d x+x^2 d y, onde C é a metade superior da elipse x=a cos t, y=b sen t, percorrida no sentido horário.
e)
integralC cos y d x-sin x d y, onde C é o segmento A B da bissetriz do segundo quadrante, se a bissetriz do ponto A é igual a 2 e a ordenada do ponto B é igual a 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular cinco integrais curvilíneas de segunda espécie da forma
integralCP(x,y),dx+Q(x,y),dy
em curvas C dadas por parametrizações específicas. Vamos em cada item:
– usar a parametrização de C,
– escrever dx e dy em termos do parâmetro,
– substituir em P,dx+Q,dy e integrar nos limites do parâmetro.

Passo 2

Item (a): P=x^2-2xy, Q=2xy+y^2, C:y=x^2, de A(1,1) a B(2,4).
Parametrização:
x=t, y=t^2, tin[1,2],
dx=dt, dy=2t,dt
Então
P,dx+Q,dy =(t^2-2t,t^2),dt+(2t,t^2+t^4),2t,dt =l(t^2-2t^3+4t^4+2t^5r),dt
Integrando de 1 a 2:
integral1^2(t^2-2t^3+4t^4+2t^5),dt =l[tfract^33-tfract^42+tfrac4t^55+tfract^63r]1^2 =tfrac121930

Passo 3

Item (b): P=2a-y, Q=x, C é a primeira volta da ciclóide
x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), tin[0,2pi]
Calculamos
dx=a(1-cos t),dt, dy=asin t,dt,
P=2a-a(1-cos t)=a(1+cos t),
P,dx+Q,dy =a(1+cos t),a(1-cos t),dt+a(t-sin t),asin t,dt =a^2l(sin^2t+tsin t-sin^2tr),dt =a^2,tsin t,dt
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integral0^2pia^2,tsin t,dt =a^2l[-tcos t+sin tr]0^2pi =-2pi,a^2

Passo 4

Item (c):
P=x+yx^2+y^2, Q=-x-yx^2+y^2, C!:x^2+y^2=a^2 em sentido anti-horário.
Parametrização:
x=acos t, y=asin t, tin[0,2pi],
dx=-asin t,dt, dy=acos t,dt
Um cálculo direto mostra que o numerador se torna -a^2,dt e o denominador é a^2, de modo que o integrando vale -1. Assim
integral0^2pi-1,dt=-2pi

Passo 5

Item (d): P=y^2, Q=x^2, C é a metade superior da elipse
x=acos t, y=bsin t, t de pito0
(em sentido horário). Calcula-se
dx=-asin t,dt, dy=bcos t,dt,
e inverte-se os limites para pôr t de 0 a pi. O resultado reduz-se a
integral0^pil(a b^2sin^3t -a^2bcos^3tr),dt =a b^2integral0^pisin^3t,dt (integral0^picos^3t=0) =tfrac43a b^2

Passo 6

Item (e): P=cos y, Q=-sin x, C é o segmento de A(2,-2) a B(-2,2) sobre y=-x.
Parametrização linear:
x=2-4t, y=-2+4t, tin[0,1],
dx=-4,dt, dy=4,dt
Então
P,dx+Q,dy =cos(y),dx-sin(x),dy =-4cos(4t-2),dt-4sin(2-4t),dt =4l[sin(4t-2)-cos(4t-2)r]dt
Integramos de 0 a 1 e obtemos
-2sin(2)

Resposta

a) tfrac121930
b) -2pi,a^2
c) -2pi
d) tfrac43a,b^2
e) -2sin(2)

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