Calcule as seguintes integrais curvilíneas de segunda espécie.
a)
, onde
é o arco da parábola
do ponto
ao ponto
.
b)
, onde
é o primeiro arco da ciclóide
,
, percorrido no sentido de crescimento do parâmetro
.
c)
, onde
é a circunferência
, percorrida no sentido anti-horário.
d)
, onde
é a metade superior da elipse
, percorrida no sentido horário.
e)
, onde
é o segmento
da bissetriz do segundo quadrante, se a bissetriz do ponto
é igual a 2 e a ordenada do ponto
é igual a 2.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular cinco integrais curvilíneas de segunda espécie da forma
em curvas
dadas por parametrizações específicas. Vamos em cada item:
– usar a parametrização de ,
– escrever e
em termos do parâmetro,
– substituir em e integrar nos limites do parâmetro.
– usar a parametrização de
– escrever
– substituir em
Passo 2
Item (a):
,
, de
a
.
Parametrização:
Parametrização:
Então
Integrando de
a
:
Passo 3
Item (b):
,
é a primeira volta da ciclóide
Calculamos
Logo
Passo 4
Item (c):
,
em sentido anti-horário.
Parametrização:
Parametrização:
Um cálculo direto mostra que o numerador se torna
e o denominador é
, de modo que o integrando vale
. Assim
Passo 5
Item (d):
,
é a metade superior da elipse
(em sentido horário). Calcula-se
e inverte-se os limites para pôr
de
a
. O resultado reduz-se a
Passo 6
Item (e):
,
é o segmento de
a
sobre
.
Parametrização linear:
Parametrização linear:
Então
Integramos de
a
e obtemos
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)