[13.1] Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
[7] r(t)=lang<=sen(t), trang<=

Passo 1

O enunciado pede um esboço da curva paramétrica
r(t)=lang<= sin(t),,trang<=,
indicando a direção em que o parâmetro t cresce. O conteúdo é curvas paramétricas em R^2: precisamos interpretar cada componente como função de t e traçar pontos-chave para esboçar a forma geral e a orientação.

Passo 2

Escrevendo as componentes separadamente temos
x(t)=sin(t),
y(t)=t
Logo, no plano xy, a coordenada x oscila entre -1 e 1, enquanto y cresce monotonicamente com t.

Passo 3

Escolhemos alguns valores de t para obter pontos-chave:
t&=0:;(,x,y)=(0,0), t&=tfracpi2:;(1,tfracpi2), t&=pi:;(0,pi), t&=tfrac3pi2:;(-1,tfrac3pi2), t&=2pi:;(0,2pi)

Passo 4

No esboço, plote esses pontos no plano cartesiano e conecte-os por uma curva suave que faça oscilações horizontais de forma senoidal, subindo à medida que y aumenta. Essa “mola” senoidal se estende infinitamente para cima e para baixo (domínio tinR) dentro da faixa -1<= x<=1.

Passo 5

Para indicar a orientação, desenhe setas sobre a curva apontando no sentido de crescimento de t. Como y=t, isso corresponde a setas apontando para cima ao longo da espiral senoidal.

Resposta

O esboço é uma “onda” senoidal que sobe verticalmente, contida em -1<= x<=1, passando pelos pontos
(0,0)to(1,tfracpi2)to(0,pi)to(-1,tfrac3pi2)to(0,2pi)tocdots
As setas desenhadas sobre a curva apontam para cima, mostrando que t cresce nesse sentido.

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