[10.6] Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e com os dados fornecidos.
[3] Hipérbole, excentricidade 32, diretriz y=2.

Passo 1

O enunciado pede a equação polar de uma hipérbole com foco na origem, excêntrica e=tfrac32 e directriz y=2. Vamos usar a definição de cônica em coordenadas polares, onde para um ponto P(r,theta) vale tfracPFPd=e.

Passo 2

A distância de P(r,theta) à reta y=2 é Pd=|2 - y| = |2 - rsintheta|. Como o ramo da hipérbole associado a essa directriz fica acima da reta (onde rsintheta>2), temos
Pd = rsintheta - 2

Passo 3

Pela definição da cônica, PF=r e PF = e,Pd, logo
r = e,(rsintheta - 2)
Isolando r:
r = e,rsintheta - 2e Longrightarrow r - e,rsintheta = -2e Longrightarrow r,(1 - esintheta) = -2e
Portanto
r = 2eesintheta - 1

Passo 4

Bast a substituir e=tfrac32 e simplificar:
r = 2cdot(3/2)(3/2)sintheta - 1 = 31.5sintheta - 1 = 63sintheta - 2

Resposta

r = 63sintheta - 2

Exercícios relacionados