10.63
Para o
\mathrm{N}_{2} a 0^{\circ} \mathrm{C}, \varphi=1,84 a 1000 atm e \varphi=0,9996 a 1 atm . Calcule Delta G quando 1,000 \mathrm{~mol} de \mathrm{N}_{2} é isotermicamente comprimido de 1,000 para 1000 atm a 0^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente os números que você passou):
  • Quantidade: n=1{,}000\\ \text{mol}.
  • Temperatura: T=0^\circ\text{C}=273{,}15\\ \text{K}.
  • Pressões inicial e final: P_1=1{,}000\\ \text{atm} e P_2=1000\\ \text{atm}.
  • Coeficientes de fugacidade (dados): \phi_1=0{,}9996 a 1{,}000\\ \text{atm} e \phi_2=1{,}84 a 1000\\ \text{atm}.
O que se pede:
  • Calcular \Delta G quando 1{,}000 mol de \mathrm{N}_2 é comprimido isotermicamente de P_1 para P_2 à temperatura dada.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicadinho e devagarinho).
  • Fugacidade f: é uma “pressão eficaz” que representa o comportamento real do gás. Para um gás real define-se o coeficiente de fugacidade \varphi por
f=\varphi\,P.
Quando o gás é ideal, \varphi\to1 e f\to P.
  • Energia livre de Gibbs para uma substância pura (por mol), chamada potencial químico \mu, pode ser escrita em termos da fugacidade (para mesma temperatura) como
\mu(T,P)=\mu^\circ(T)+RT\ln\!\left(\dfrac{f}{P^\circ}\right),
onde P^\circ é uma pressão de referência (cancela ao fazer diferença). Para uma transformação isoterma entre dois estados 1 e 2, a variação molar de energia livre é
\Delta\mu=\mu_2-\mu_1=RT\ln\!\left(\dfrac{f_2}{f_1}\right).
Para n mols, a variação total de Gibbs é
\Delta G = n\,\Delta\mu = nRT\ln\!\left(\dfrac{f_2}{f_1}\right).
  • Substituindo f=\varphi P obtemos a fórmula prática que vamos usar:
\Delta G = nRT\ln\!\left(\dfrac{\phi_2 P_2}{\phi_1 P_1}\right).
Explicação das variáveis:
  • n: número de mols (aqui 1{,}000).
  • R: constante universal dos gases; vou usar R=8{,}314462618\\ \dfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}.
  • T: temperatura absoluta em kelvin.
  • \phi_1,\phi_2: coeficientes de fugacidade nos estados 1 e 2 (dados).
  • P_1,P_2: pressões nos estados 1 e 2 (dados).
Observação física curta: se \phi_2P_2>\phi_1P_1 então \Delta G>0 — é necessário realizar trabalho sobre o sistema para comprimi-lo isotermicamente.

Passo 3

Calcular as fugacidades f_1 e f_2 a partir de \varphi e P:
f_1=\phi_1 P_1 = 0{,}9996\times 1{,}000\\ \text{atm}=0{,}9996\\ \text{atm},
f_2=\phi_2 P_2 = 1{,}84\times 1000\\ \text{atm}=1840\\ \text{atm}.

Passo 4

Calcular o argumento do logaritmo:
\frac{f_2}{f_1}=\frac{1840}{0{,}9996}=1840{,}7362945\\ (\text{aprox.}).
Agora o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{f_2}{f_1}\right)=\ln(1840{,}7362945)\approx 7{,}5179227.
(Comentário rápido: esse ln é grande porque a pressão/equivalente fugacidade aumentou bastante; faz sentido \Delta G positivo.)

Passo 5

Calcular RT (por mol):
RT = R\;T = 8{,}314462618\\ \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}\times 273{,}15\\ \text{K}\approx 2271{,}095464\\ \frac{\text{J}}{\text{mol}}.

Passo 6

Agora calcular \Delta G usando a fórmula:
\Delta G = nRT\ln\!\left(\frac{f_2}{f_1}\right).
Substituindo os números:
\Delta G = 1{,}000\times 2271{,}095464\\ \frac{\text{J}}{\text{mol}}\times 7{,}5179227 \approx 17073{,}9207\\ \text{J}.
Arredondando de forma sensata, isso dá aproximadamente 1{,}7074\times10^{4}\\ \text{J}, ou em quilojoules:
\Delta G \approx 17{,}07\\ \text{kJ}.
Interpretação curta: \Delta G>0 significa que é necessário fornecer energia livre (trabalho não-expansível) para comprimir isotermicamente o gás nas condições dadas — nada estranho aí.

Passo 7

Resumo dos principais passos usados para você repetir na prova:
  • Usar f=\varphi P.
  • Usar \Delta G = nRT\ln(f_2/f_1).
  • Substituir valores (preste atenção às unidades de R e T).
  • Calcular e converter para a unidade desejada.

Resposta

\Delta G = 1{,}7074\times10^{4}\\ \text{J}\approx 17{,}07\\ \text{kJ}

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