10.83 Água é bombeada de um lago (em z=0 ) para um grande reservatório localizado sobre uma encosta acima do lago. O tubo é de ferro galvanizado com 75 mm de diâmetro. A seção de aspiração (entre o lago e a bomba) inclui uma entrada bem arredondada, um cotovelo-padrão de 90^{\circ} e 15 m de tubo. A seção de recalque (entre a saída da bomba e a descarga para o tanque aberto) inclui 2 cotovelospadrão de 90^{\circ}, uma válvula de gaveta e 46 m de tubo. O tubo de descarga (pela lateral inferior do tanque) está a uma altura z =21 \mathrm{~m}. Calcule a curva de vazão do sistema. Estime o ponto de operação do sistema. Determine a potência de alimentação da bomba, se a eficiência no ponto de operação é 80 \%. Esboce a curva do sistema, quando o nível de água no tanque superior atinge z=27 \mathrm{~m}. Se o nível de água no tanque superior está em z=23 \mathrm{~m} e a válvula está parcialmente fechada de modo a reduzir a vazão para 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, esboce a curva do sistema para esta condição de operação. Você esperaria que a eficiência da bomba fosse maior para a primeira ou para a segunda condição de operação? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede para montar a curva do sistema hidráulico que relaciona a altura manométrica requerida H_{\rm sys} com a vazão Q. Esse sistema bombeia água de um lago em z=0 até um reservatório em z=21,m, por um tubo de diâmetro interno D=75,mm, com perdas por atrito (tubo) e perdas localizadas (entrada arredondada, cotovelos, válvula). A seguir precisamos:
  1. Expressar H_{\rm sys}(Q)=z_{\rm montante}+h_{\rm atrito}(Q)+h_{\rm local}(Q).
  2. Estimar o ponto de operação graficamente, igualando essa curva à curva característica da bomba.
  3. Calcular a potência de entrada P_{\rm in}= \frac{\rho g\,Q\,H_{\rm op}}{\eta}, com \eta=0{,}8.
  4. Desenhar como muda H_{\rm sys}(Q) se o reservatório passa a z=27,m.
  5. Desenhar H_{\rm sys}(Q) se z=23,m e a válvula reduz Q para 10,m³/h.
  6. Discutir em qual condição a eficiência da bomba seria maior.
Para montar essa curva do sistema, vamos usar Darcy–Weisbach e coeficientes de perdas localizadas ( K):
– Entrada arredondada: K_{\rm ent}=0{,}04
– Cotovelo padrão 90°: K_{\rm el}=1{,}5
– Válvula de gaveta (aberta): K_{\rm val}=0{,}15
– Fator de atrito uniforme: f\approx0{,}02 (túrbido)

Passo 2

Calcular a perda de carga por atrito em cada trecho. A velocidade é
v = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{\tfrac{\pi D^2}{4}}.
A perda por atrito num trecho de comprimento L vale
h_{\rm atrito} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}.
Para a sucção ( L_1=15 m) e recalque ( L_2=46 m) temos
h_{\rm atrito,1} = f\,\frac{15}{D}\,\frac{v^2}{2g}, \quad h_{\rm atrito,2} = f\,\frac{46}{D}\,\frac{v^2}{2g}.

Passo 3

Estimar as perdas localizadas equivalentes K_{\rm tot}. Na sucção há
K_1 = K_{\rm ent} + K_{\rm el} = 0,04 + 1,5 = 1,54.
No recalque há
K_2 = 2\,K_{\rm el} + K_{\rm val} = 2\cdot1,5 + 0,15 = 3,15.
A perda localizada total é
h_{\rm local} = (K_1 + K_2)\,\frac{v^2}{2g} = 4{,}69\,\frac{v^2}{2g}.

Passo 4

Somando tudo, a curva do sistema é
H_{\rm sys}(Q) = z_{\rm montante} + f\,\frac{15+46}{D}\,\frac{v^2}{2g} + 4{,}69\,\frac{v^2}{2g},
onde z_{\rm montante}=21,m e v = 4Q/(\pi D^2). Substituindo D=0{,}075 m e f=0{,}02, chega-se a uma expressão do tipo
H_{\rm sys}(Q) = 21 + C\,Q^2,
com C numérico obtido pela soma das contribuições acima.

Passo 5

O ponto de operação é o valor de Q em que
H_{\rm bomba}(Q)=H_{\rm sys}(Q).
Graficamente sobrepomos a curva H_{\rm sys}(Q) que acabamos de traçar à curva característica da bomba (fornecida pelo fabricante) e lemos a vazão Q_{\rm op} e a altura H_{\rm op}.

Passo 6

Com o ponto de operação em mãos, calculamos a potência de entrada à bomba por
P_{\rm in} = \frac{\rho\,g\,Q_{\rm op}\,H_{\rm op}}{\eta},
usando \rho=1000,kg/m³, g=9,81,m/s² e \eta=0{,}8.

Passo 7

Se o nível do reservatório sobe para z=27,m, a única mudança em H_{\rm sys} é no termo de elevação. Passamos a ter
H_{\rm sys}^{(27)}(Q)=27 + C\,Q^2,
isto desloca a curva para cima e reduz a vazão de equilíbrio.

Passo 8

Se o nível cai para z=23,m e a válvula é parcialmente fechada para forçar Q=10,m³/h, o sistema impõe uma perda extra. A nova curva do sistema fica
H_{\rm sys}^{\rm (23+fech)}(Q)=23 + C\,Q^2 + \Delta H_{\rm val}(Q),
onde \Delta H_{\rm val} representa a perda adicional do estrangulamento. Essa curva cruza a curva da bomba em Q=10,m³/h.

Passo 9

Sobre a eficiência: normalmente a bomba trabalha melhor quando está perto de seu ponto de melhor rendimento (próximo ao meio da sua faixa). A condição original (ponto de projeto) costuma estar mais próxima desse ótimo do que a condição forçada pela válvula (fluxo baixo), de modo que esperaríamos \eta mais alto na primeira condição de operação.

Resposta

– Expressão do sistema:
H_{\rm sys}(Q)=21 + \biggl[f\,\frac{61}{D} + (K_1+K_2)\biggr]\frac{v^2}{2g}, \quad v=\frac{4Q}{\pi D^2}.
– Ponto de operação obtido graficamente no cruzamento com H_{\rm bomba}(Q).
P_{\rm in}=\dfrac{1000\cdot9,81\,Q_{\rm op}\,H_{\rm op}}{0,8}.
– Para z=27,m, H_{\rm sys}(Q)=27+C\,Q^2.
– Para z=23,m com válvula estrangulada em Q=10,m³/h, soma-se a perda extra da válvula.
– A eficiência é maior na primeira condição (ponto original), pois está mais próximo do ponto de melhor rendimento da bomba.

Exercícios relacionados