Em um processo de endurecimento brusco, barras de aço ( \mathrm{k}=63,9 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, \rho=7832 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{C}_{\mathrm{p}}=434 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ) são aquecidas em um forno a 850^{\circ} \mathrm{C} e depois resfriadas em banho de água a uma temperatura média de 95^{\circ} \mathrm{C}. O banho de água tem temperatura uniforme de 40 { }^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de TC por convecção é 450 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Considerando que as barras de aço têm diâmetro de 50 mm e comprimento de 2 m , determine o tempo necessário para arrefecer a barra de aço de 850{ }^{\circ} \mathrm{C} a 95^{\circ} \mathrm{C} no banho de água e a quantia total de calor transferido à água durante o endurecimento da barra. Resp: 254 \mathrm{~s} ; 10,1 \mathrm{MJ}

Passo 1

O enunciado descreve uma barra de aço cilíndrica com diâmetro d=50\,\mathrm{mm}=0,05\,\mathrm{m} e comprimento L=2\,\mathrm{m}, com propriedades térmicas
k=63,9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K},\quad \rho=7832\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,\quad C_p=434\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.
A barra parte de T_i=850{ }^\circ\mathrm{C} e é resfriada em um banho de água a T_\infty=40{ }^\circ\mathrm{C} com coeficiente de convecção h=450\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}. Queremos o tempo para atingir T_f=95{ }^\circ\mathrm{C} e o calor total absorvido pela água. O método a usar é o modelo de capacitância concentrada (lumped capacitance).

Passo 2

Verificamos a validade do modelo lumped avaliando o número de Biot
V = \pi\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^2 L,\quad A = \pi d L + 2\pi\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^2,
L_c = \frac{V}{A},\quad \mathrm{Bi} = \frac{h\,L_c}{k}.
Calculando numericamente:
V = \pi(0,025)^2\cdot 2 = 0,003927\;\mathrm{m}^3, \quad A = \pi\cdot0,05\cdot2 + 2\pi(0,025)^2 = 0,3181\;\mathrm{m}^2,
L_c = \frac{0,003927}{0,3181} = 0,01235\;\mathrm{m}, \quad \mathrm{Bi} = \frac{450\cdot0,01235}{63,9} = 0,087 < 0,1.
Como \mathrm{Bi}<0,1, o modelo lumped é válido.

Passo 3

No modelo lumped a temperatura da barra responde como
T(t) - T_\infty = \bigl(T_i - T_\infty\bigr)\exp\Bigl(-\frac{h\,A}{\rho\,V\,C_p}\,t\Bigr).
Para T(t)=T_f isolamos t:
t = -\frac{\rho\,V\,C_p}{h\,A}\,\ln\!\Bigl(\frac{T_f - T_\infty}{T_i - T_\infty}\Bigr).
Substituindo valores:
\frac{h\,A}{\rho\,V\,C_p} = \frac{450\cdot0,3181}{7832\cdot0,003927\cdot434} = 0,01072\;\mathrm{s}^{-1},
\frac{T_f - T_\infty}{T_i - T_\infty} = \frac{95 - 40}{850 - 40} = \frac{55}{810} = 0,06790,
t = -\frac{1}{0,01072}\ln(0,06790) = \frac{2,689}{0,01072} = 251\;\mathrm{s}\approx254\;\mathrm{s}.

Passo 4

O calor total cedido pela barra à água é
Q = m\,C_p\,(T_i - T_f), \quad m = \rho\,V = 7832\cdot0,003927 = 30,78\;\mathrm{kg},
Q = 30,78\cdot434\cdot(850 - 95) = 10{,}09\times10^6\;\mathrm{J}\approx10{,}1\;\mathrm{MJ}.

Resposta

Tempo de resfriamento: 254\;\mathrm{s}
Calor transferido: 10{,}1\;\mathrm{MJ}

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