Um tubo de diâmetro 2 " e 1,2 \mathrm{~m} de comprimento transporta um fluido a 150^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película de 1800 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. Para facilitar a troca de calor com o ar ambiente foi sugerido o aletamento do tubo, com aletas longitudinais de 2 mm de espessura e 19 mm de altura, montadas com espaçamento aproximado de 6 mm (na base). O tubo e as aletas de aço tem coeficiente de condutividade térmica igual a 40 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e emissividade 0,86 . O ar ambiente está a 28^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película 15 \mathrm{Kcal} / \mathrm{hm}^{2 \circ} \mathrm{C}. Desprezando a resistência da película interna, pede-se:
a) o calor transferido por convecção pelo tubo sem as aletas
b) o calor transferido por radiação pelo tubo sem as aletas
c) o número de aletas
d) o calor transferido por convecção pelo tubo aletado
e) o calor transferido por radiação pelo tubo aletado

Passo 1

Resumindo o enunciado temos um tubo de diâmetro D=2''=0{,}0508\\ \mathrm m e comprimento L=1{,}2\\ \mathrm m, transportando fluido a T_s=150^\circ\mathrm C. O ar ambiente está a T_\infty=28^\circ\mathrm C. Desprezamos a resistência interna, logo a superfície do tubo está a 150^\circ\mathrm C. O coeficiente de convecção externa sem aletas vale h=15\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm h\cdot\mathrm m^2\cdot{}^\circ\mathrm C), a emissividade do aço é \varepsilon=0,86, e a condutividade térmica do aço é k=40\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm h\cdot\mathrm m\cdot{}^\circ\mathrm C). Para as aletas, a espessura na base é t=2\\ \mathrm{mm}=0{,}002\\ \mathrm m, a altura H=19\\ \mathrm{mm}=0{,}019\\ \mathrm m e o espaçamento na base p=6\\ \mathrm{mm}=0{,}006\\ \mathrm m.

Passo 2

Convectivo sem aletas. A área externa do tubo é
A_{\mathrm ext}=\pi D L=\pi\cdot0{,}0508\cdot1{,}2\approx0{,}1915\\ \mathrm m^2.
O fluxo convectivo é
Q_{\mathrm conv,bare} = h\,A_{\mathrm ext}\,(T_s-T_\infty) =15\cdot0{,}1915\cdot(150-28) \approx350\\ \mathrm{Kcal/h}.

Passo 3

Radiativo sem aletas. Usamos a lei de Stefan–Boltzmann em Kcal/h:
\sigma=5{,}67\times10^{-8}\,\frac{\mathrm W}{\mathrm m^2\mathrm K^4} \approx4{,}876\times10^{-8}\,\frac{\mathrm{Kcal}}{\mathrm h\,\mathrm m^2\,\mathrm K^4}.
Em Kelvin T_s=423\\ \mathrm K, T_\infty=301\\ \mathrm K.
\Delta T^4 =423^4-301^4\approx2{,}382\times10^{10}\\ \mathrm K^4.
Logo
Q_{\mathrm rad,bare} =\varepsilon\,\sigma\,A_{\mathrm ext}\,\Delta T^4 =0{,}86\cdot4{,}876\times10^{-8}\cdot0{,}1915\cdot2{,}382\times10^{10} \approx191\\ \mathrm{Kcal/h}.

Passo 4

Número de aletas N. Cada aleta ocupa na base uma largura t e fica espaçada p.
N\approx\frac{\pi D}{t+p} =\frac{\pi\cdot0{,}0508}{0{,}002+0{,}006} \approx19{,}95\;\to\;20\\ \text{aletas}.

Passo 5

Eficiência da aleta retangular de espessura t e altura H:
m=\sqrt{\frac{2h}{k\,t}} =\sqrt{\frac{2\cdot15}{40\cdot0{,}002}} \approx19{,}36\\ \mathrm m^{-1}, \quad mH=19{,}36\cdot0{,}019\approx0{,}368,
\eta_f=\frac{\operatorname{tanh}(mH)}{mH} =\frac{\operatorname{tanh}(0{,}368)}{0{,}368}\approx0{,}956.

Passo 6

Convecção com aletas.
Área lateral útil de cada aleta ( 2 faces + topo):
A_f=2\,L\,H+L\,t =2\cdot1{,}2\cdot0{,}019+1{,}2\cdot0{,}002 =0{,}048\\ \mathrm m^2.
Fluxo pelas aletas:
Q_{\mathrm fins} =N\,\eta_f\,h\,A_f\,(T_s-T_\infty) =20\cdot0{,}956\cdot15\cdot0{,}048\cdot122 \approx1680\\ \mathrm{Kcal/h}.
Área descoberta do tubo:
A_{\mathrm unc} =\bigl(\pi D -N\,t\bigr)L =(\pi\cdot0{,}0508-20\cdot0{,}002)\cdot1{,}2 \approx0{,}1435\\ \mathrm m^2,
Q_{\mathrm unc} =h\,A_{\mathrm unc}\,(T_s-T_\infty) =15\cdot0{,}1435\cdot122 \approx263\\ \mathrm{Kcal/h}.
Total convectivo aletado:
Q_{\mathrm conv,al} =Q_{\mathrm fins}+Q_{\mathrm unc} \approx1680+263 \approx1943\\ \mathrm{Kcal/h}.

Passo 7

Radiativo aletado. A área total radiante é
A_{\mathrm rad,al} =A_{\mathrm ext}+N\,A_f =0{,}1915+20\cdot0{,}048 \approx1{,}1515\\ \mathrm m^2.
Q_{\mathrm rad,al} =\varepsilon\,\sigma\,A_{\mathrm rad,al}\,\Delta T^4 =0{,}86\cdot4{,}876\times10^{-8}\cdot1{,}1515\cdot2{,}382\times10^{10} \approx1150\\ \mathrm{Kcal/h}.

Resposta

a) Q_{\mathrm conv,bare}\approx350\\ \mathrm{Kcal/h}.
b) Q_{\mathrm rad,bare}\approx191\\ \mathrm{Kcal/h}.
c) N\approx20\\ \text{aletas}.
d) Q_{\mathrm conv,al}\approx1943\\ \mathrm{Kcal/h}.
e) Q_{\mathrm rad,al}\approx1150\\ \mathrm{Kcal/h}.

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