A transferência de calor em um reator de formato cilíndrico deve ser elevada em 10 % através da colocação de aletas de aço ( k=40 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ). Dispõe-se de 2 tipos de aletas pino, ambas com 25 mm de altura. Um tipo tem seção circular com 5 mm de diâmetro e o outro tem seção quadrada com 4 mm de lado. O reator, que tem 2 m de altura de 50 cm de diâmetro, trabalha a 250^{\circ} \mathrm{C} e está localizado em um local onde a temperatura é 25^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de película é 12 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. ( \varnothing= diâmetro e d = aresta)
a) Calcular o número de pinos de seção circular necessários;
b) Calcular o número de pinos de seção quadrada necessários.

Passo 1

O enunciado pede para aumentar a transferência de calor de um cilindro de diâmetro \displaystyle D=0{,}5\:\mathrm{m} e altura \displaystyle L=2\:\mathrm{m} em 10 % por meio da colocação de aletas pino de aço ( k=40\:\mathrm{kcal}/\mathrm{h}\,\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}). A temperatura da superfície do cilindro é \displaystyle T_s=250^\circ\mathrm{C} e a do ar ambiente é \displaystyle T_\infty=25^\circ\mathrm{C}, com coeficiente de película \displaystyle h=12\:\mathrm{kcal}/\mathrm{h}\,\mathrm{m}^2\,^\circ\mathrm{C}. As aletas têm comprimento (projeção) \displaystyle \ell=25\:\mathrm{mm}=0{,}025\:\mathrm{m}. Vamos usar o modelo de aleta de seção transversal constante com condutividade unidimensional e condutiva na extremidade, de modo que a contribuição de cada aleta é
q_f \;=\;\sqrt{h P\,k A_c}\,\bigl(T_s-T_\infty\bigr)\,\operatorname{tanh}\bigl(m\,\ell\bigr)
onde
m=\sqrt{\frac{h\,P}{k\,A_c}}\,,\quad P=\text{perímetro da seção},\quad A_c=\text{área da seção}.íçãáçã

Passo 2

Primeiro calculamos a transferência sem aletas:
A_s = \pi\,D\,L = \pi\,(0{,}5)\,(2)=\pi\:\mathrm{m}^2,
\Delta T = T_s - T_\infty = 250 - 25 = 225^\circ\mathrm{C},
Q_0 = h\,A_s\,\Delta T = 12\cdot\pi\cdot225 \approx 8482{,}3\:\mathrm{kcal/h}.
Com as aletas, negligenciando o bloqueio pequeno da base, a nova transferência é
Q_{\rm new} = h\bigl(A_s - N\,A_{\rm base}\bigr)\Delta T \;+\; N\,q_f
e queremos Q_{\rm new}=1{,}1\,Q_0. Isolando N obtemos
\boxed{% N = \frac{0{,}1\,h\,A_s\,\Delta T}{\,q_f \;-\; h\,A_{\rm base}\,\Delta T\,}\,.}

Passo 3

Seção circular ( \varnothing=5\:\mathrm{mm}=0{,}005\:\mathrm{m}):
P = \pi\,D_{\rm pin} = \pi\,(0{,}005)=0{,}015708\:\mathrm{m}, \quad A_c = A_{\rm base} = \frac{\pi\,D_{\rm pin}^2}{4} = 1{,}9635\times10^{-5}\:\mathrm{m}^2,
m = \sqrt{\frac{h\,P}{k\,A_c}} = \sqrt{\frac{12\cdot0{,}015708}{40\cdot1{,}9635\times10^{-5}}} \approx 15{,}49\:\mathrm{m}^{-1},
\operatorname{tanh}(m\,\ell)=\operatorname{tanh}(15{,}49\cdot0{,}025)\approx0{,}368,
\sqrt{h\,P\,k\,A_c} = \sqrt{12\cdot0{,}015708\cdot40\cdot1{,}9635\times10^{-5}} \approx0{,}012165,
q_f = 0{,}012165\cdot225\cdot0{,}368\approx1{,}0071\:\mathrm{kcal/h}, \quad h\,A_{\rm base}\,\Delta T = 12\cdot1{,}9635\times10^{-5}\cdot225\approx0{,}0530\:\mathrm{kcal/h}.
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q_f - h\,A_{\rm base}\,\Delta T \approx 1{,}0071 - 0{,}0530 = 0{,}9541\:\mathrm{kcal/h},
N_{\rm circ} = \frac{0{,}1\cdot8482{,}3}{0{,}9541}\approx888{,}9\approx\mathbf{889\text{ aletas.}}

Passo 4

Seção quadrada ( d=4\:\mathrm{mm}=0{,}004\:\mathrm{m}):
P = 4\,d = 4\cdot0{,}004=0{,}016\:\mathrm{m}, \quad A_c = A_{\rm base} = d^2 = 1{,}6\times10^{-5}\:\mathrm{m}^2,
m = \sqrt{\frac{h\,P}{k\,A_c}} = \sqrt{\frac{12\cdot0{,}016}{40\cdot1{,}6\times10^{-5}}} \approx17{,}32\:\mathrm{m}^{-1},
\operatorname{tanh}(m\,\ell)=\operatorname{tanh}(17{,}32\cdot0{,}025)\approx0{,}410,
\sqrt{h\,P\,k\,A_c} = \sqrt{12\cdot0{,}016\cdot40\cdot1{,}6\times10^{-5}} \approx0{,}011084,
q_f = 0{,}011084\cdot225\cdot0{,}410\approx1{,}0219\:\mathrm{kcal/h}, \quad h\,A_{\rm base}\,\Delta T = 12\cdot1{,}6\times10^{-5}\cdot225\approx0{,}0432\:\mathrm{kcal/h},
q_f - h\,A_{\rm base}\,\Delta T \approx 1{,}0219 - 0{,}0432 = 0{,}9787\:\mathrm{kcal/h},
N_{\rm quad} = \frac{0{,}1\cdot8482{,}3}{0{,}9787}\approx866{,}9\approx\mathbf{867\text{ aletas.}}

Resposta

Número de pinos de seção circular: 889
Número de pinos de seção quadrada: 867

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