2^{\text {a }} QUESTÃO (2,5 pontos)

Determine se os subconjuntos abaixo săo subespeços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
V=\left\{(x, y, z) \in \mathbf{R}^{3} \left\lvert\, \frac{1}{x^{2}}+y^{2}+z^{2}=0\right.\right\} \subset \mathbf{R}^{3}

Passo 1

O enunciado define
V = \bigl\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \tfrac{1}{x^2}+y^2+z^2 = 0\bigr\}
e pede para decidir se V é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, lembramos que um subespaço deve (i) não ser vazio, (ii) conter o vetor zero e (iii) ser fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Observe que, para todo x\neq 0,
\tfrac{1}{x^2} > 0,
e além disso y^2\ge 0 e z^2\ge 0. Logo
\tfrac{1}{x^2} + y^2 + z^2 > 0
para qualquer escolha de (x,y,z). Não existe, portanto, nenhuma tupla que satisfaça
\tfrac{1}{x^2}+y^2+z^2 = 0,
de modo que
V = \varnothing.

Passo 3

Como V é o conjunto vazio, ele não contém o vetor zero (0,0,0). Logo falha a condição mínima para ser subespaço.

Resposta

V não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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