10 - As alturas de um grupo de atletas de um clube estão relacionadas na tabela seguinte:
Alturas (em metros) Número de atletas
[1,64; 1,70[ 8
[1,70; 1,76[ 88
[1,76; 1,82[ 104
[1,82; 1,88[ 136
[1,88; 1,94[ 40
[1,94; 2,00[ 24
Total 400
Determine a média, a mediana, a variância, o desvio padrão e a classe modal desses dados.

Passo 1

O enunciado dá as alturas de N=400 atletas agrupadas em seis classes de amplitude igual h=0,06 m, com respectivas frequências. Vamos calcular as medidas de tendência central (média e mediana), de dispersão (variância e desvio padrão) e a classe modal (e a moda estimada) para dados agrupados.

Passo 2

Para a média precisamos dos pontos médios xi de cada classe e do produto fi xi. Os pontos médios são
1,67,;1,73,;1,79,;1,85,;1,91,;1,97
Calculamos
sum fi xi = 727,04,
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bar x = sum fi xiN = 727,04400 = 1,8176 m

Passo 3

A mediana é dada pela fórmula para dados agrupados:
Mediana = Lm + tfracN2-Facumulada,antesfm;h
Aqui N/2=200, a primeira classe com Facumulada>=200 é a classe [1,76;1,82[ com Lm=1,76, frequência fm=104 e Facumulada,antes=96. Então
Mediana =1,76 + 200-96104cdot0,06 =1,76 + 0,06 =1,82 m

Passo 4

Para a variância populacional usamos
sigma^2 = sum fi xi^2N - bar x^2
Calculamos sum fi xi^2 =1323,4384, então
sigma^2 = 1323,4384400 - (1,8176)^2 =3,308596 - 3,303670 approx0,004926
O desvio padrão é
sigma = raiz0,004926 approx0,0702 m

Passo 5

A classe modal é a que tem maior frequência, ou seja [1,82;1,88[ com f0=136. As frequências vizinhas são f-1=104 e f+1=40. A moda estimada é
Moda = L0 + f0 - f-12f0 - f-1 - f+1 ;h =1,82 + 136-1042cdot136-104-40cdot0,06 =1,82 + 0,015 =1,835 m

Resposta

Média bar x=1,8176 m
Mediana =1,82 m
Variância sigma^2approx0,00493 m^2
Desvio padrão sigmaapprox0,0702 m
Classe modal [1,82;1,88[ com moda estimada approx1,835 m

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