9 - As notas obtidas pelos 80 alunos estão na tabela abaixo
Nota de alunos
14
20
20
16
10
Total 80
Calcule a média, a mediana e o desvio padrão.

Passo 1

O enunciado apresenta 80 alunos cujas notas estão agrupadas nos intervalos [0,2[, [2,4[, [4,6[, [6,8[ e [8,10[ com frequências correspondentes. Pede-se a média aritmética, a mediana e o desvio-padrão, usando as fórmulas para dados agrupados: pontos médios, soma das frequências e interpolação no cálculo da mediana.

Passo 2

Calculamos o ponto médio xi de cada intervalo e as somas necessárias:
Intervalo [0,2[ to x1=1, f1=14
Intervalo [2,4[ to x2=3, f2=20
Intervalo [4,6[ to x3=5, f3=20
Intervalo [6,8[ to x4=7, f4=16
Intervalo [8,10[ to x5=9, f5=10
Agora montamos:
sum fi = 80, sum fi xi = 14cdot1 + 20cdot3 + 20cdot5 + 16cdot7 + 10cdot9 = 376,
sum fi xi^2 = 14cdot1^2 + 20cdot3^2 + 20cdot5^2 + 16cdot7^2 + 10cdot9^2 = 2288

Passo 3

A média aritmética para dados agrupados é
bar x = sum fi xisum fi = 37680 = 4,7

Passo 4

Para a mediana, localizamos a classe que contém o 40º valor ( N/2=40). As frequências acumuladas são:
até [0,2[ = 14, até [2,4[ = 34, até [4,6[ = 54.
Logo a classe mediana é [4,6[ com fm = 20, limite inferior L = 4, frequência acumulada antes F = 34 e largura h = 2.
Interpolamos:
tilde x = L + tfracN2 - Ffm , h = 4 + 40 - 3420 cdot 2 = 4 + 0,6 = 4,6

Passo 5

O desvio-padrão é a raiz da variância sigma^2, onde
sigma^2 = sum fi xi^2N - bar x^2 = 228880 - (4,7)^2 = 28,6 - 22,09 = 6,51
Portanto
sigma = raiz6,51approx 2,55

Resposta

Média =4,7
Mediana =4,6
Desvio-padrão approx2,55

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