8 - O professor de estatística de uma faculdade experimentou dar uma prova sem limite de tempo para os alunos. Os 80 alunos presentes gastaram os tempos indicados na tabela.
Tempo(min) |l|l| hline Tempo(min) & $N^circ$ de alunos hline [100; 120[ & 12 hline [120; 140[ & 20 hline [140; 160[ & 16 hline [160; 180] & 14 hline [180; 200[ & 8 hline [200; 220[ & 6 hline [220; 240] & 4 hline Total & 80 hline de alunos
[100; 120[ 12
[120; 140[ 20
[140; 160[ 16
[160; 180] 14
[180; 200[ 8
[200; 220[ 6
[220; 240] 4
Total 80
Calcule a média, a mediana e o desvio padrão.

Passo 1

O enunciado dá os tempos gastos por 80 alunos, agrupados em 7 classes de amplitude 20 minutos, e pede: média, mediana e desvio-padrão. Vamos usar estatística descritiva para dados agrupados, ou seja, pontos médios de classe, frequências acumuladas e fórmulas de média e variância para dados agrupados.

Passo 2

Para a média, calculamos o ponto médio de cada classe
mi = limite inferior + limite superior2
e depois usamos
barx = sumi=1^7 fi,miN
As frequências fi e os mi são:
m1&=110,;f1=12;&m2&=130,;f2=20; m3&=150,;f3=16;&m4&=170,;f4=14; m5&=190,;f5=8;&m6&=210,;f6=6; m7&=230,;f7=4&
Então
sum fi,mi =12cdot110+20cdot130+16cdot150+14cdot170+8cdot190+6cdot210+4cdot230=12400,
logo
barx=1240080=155

Passo 3

Para a mediana em dados agrupados, localizamos a classe que contém a 40ª e 41ª observações (metade de 80). As frequências acumuladas são
12,;32,;48,;62,dots
Como 32<40<=48, a classe é [140,160[ com L=140, frequência f=16, amplitude w=20 e frequência acumulada anterior F=32. A mediana é
tildex = L + N2-Ff,w =140 + 40-3216times20 =140 +10 =150

Passo 4

O desvio-padrão populacional para dados agrupados é
sigma =raizsumi=1^7 fi,(mi-barx)^2N
Calculando cada (mi-155)^2 fi:
(110-155)^2cdot12&=24300, (130-155)^2cdot20&=12500, (150-155)^2cdot16&=400, (170-155)^2cdot14&=3150, (190-155)^2cdot8&=9800, (210-155)^2cdot6&=18150, (230-155)^2cdot4&=22500
A soma é 90800, então
sigma =raiz9080080 =raiz1135 approx33,7

Resposta

Média =155 minutos
Mediana =150 minutos
Desvio-padrão approx33,7 minutos

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