Das 10 alunas de uma classe, 3 são escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de nenhuma ter olhos azuis?
Passo 1
O enunciado diz (peguei estes dados do problema): dentre as
alunas da classe,
têm olhos azuis. Três alunas são escolhidas aleatoriamente (sem reposição). A pergunta é: qual a probabilidade de que nenhuma das
escolhidas tenha olhos azuis?
Informações relevantes:
- Total de alunas:
. - Número de alunas com olhos azuis:
. - Número de alunas sem olhos azuis:
. - Número de alunas escolhidas:
. - Queremos a probabilidade de que todas as
escolhidas sejam do grupo das sem olhos azuis.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): como a escolha é aleatória e a ordem não importa, podemos contar de quantas maneiras escolher
alunas dentre as
(todas as escolhas igualmente prováveis) e quantas dessas escolhas consistem inteiramente de alunas sem olhos azuis. A probabilidade será
Para contar escolhas sem considerar ordem usamos combinações. A fórmula de combinação é
onde
(fatorial) significa
. Aqui
é “n escolhe k”: número de subconjuntos de tamanho
de um conjunto de
elementos.
Passo 3
Calcular o número total de maneiras de escolher
alunas dentre
:
Fazendo as contas de forma simples:
e
, então
Logo existem
escolhas possíveis ao todo.
Passo 4
Calcular o número de maneiras de escolher
alunas todas sem olhos azuis (há
tais alunas):
Aqui
e
, então
Logo há
escolhas favoráveis (nenhuma com olhos azuis).
Passo 5
Calcular a probabilidade como razão entre escolhas favoráveis e escolhas totais:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
(Verificação por outro método — interpretação em termos de eventos sequenciais, para fixar a ideia) Podemos também pensar nas escolhas uma a uma, sem reposição:
- Probabilidade da primeira escolhida não ter olhos azuis:
. - Dado que a primeira não teve olhos azuis, restam
sem olhos azuis entre alunas: probabilidade da segunda não ter olhos azuis: . - Dado que as duas primeiras não tinham olhos azuis, restam
sem olhos azuis entre alunas: probabilidade da terceira não ter olhos azuis: .
Multiplicando:
o que confirma o resultado anterior.
Passo 7
Interpretação final curta e incentivo: a chance de, ao escolher
alunas aleatoriamente, nenhuma ter olhos azuis é
, ou cerca de
. Vai dar certo na prova — memorize a ideia: contar casos favoráveis sobre casos possíveis com combinação, ou multiplicar probabilidades em etapas sem reposição.