Das 10 alunas de uma classe, 3 são escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de nenhuma ter olhos azuis?

Passo 1

O enunciado diz (peguei estes dados do problema): dentre as 10 alunas da classe, 3 têm olhos azuis. Três alunas são escolhidas aleatoriamente (sem reposição). A pergunta é: qual a probabilidade de que nenhuma das 3 escolhidas tenha olhos azuis?
Informações relevantes:
  • Total de alunas: 10.
  • Número de alunas com olhos azuis: 3.
  • Número de alunas sem olhos azuis: 10-3=7.
  • Número de alunas escolhidas: 3.
  • Queremos a probabilidade de que todas as 3 escolhidas sejam do grupo das 7 sem olhos azuis.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): como a escolha é aleatória e a ordem não importa, podemos contar de quantas maneiras escolher 3 alunas dentre as 10 (todas as escolhas igualmente prováveis) e quantas dessas escolhas consistem inteiramente de alunas sem olhos azuis. A probabilidade será
\text{probabilidade}=\frac{\text{nº de escolhas sem olhos azuis}}{\text{nº de escolhas possíveis}}.ººí
Para contar escolhas sem considerar ordem usamos combinações. A fórmula de combinação é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots1. Aqui \binom{n}{k} é “n escolhe k”: número de subconjuntos de tamanho k de um conjunto de n elementos.

Passo 3

Calcular o número total de maneiras de escolher 3 alunas dentre 10:
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.
Fazendo as contas de forma simples: 10\cdot9\cdot8=720 e 3\cdot2\cdot1=6, então
\binom{10}{3}=\frac{720}{6}=120.
Logo existem 120 escolhas possíveis ao todo.

Passo 4

Calcular o número de maneiras de escolher 3 alunas todas sem olhos azuis (há 7 tais alunas):
\binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}.
Aqui 7\cdot6\cdot5=210 e 3\cdot2\cdot1=6, então
\binom{7}{3}=\frac{210}{6}=35.
Logo há 35 escolhas favoráveis (nenhuma com olhos azuis).

Passo 5

Calcular a probabilidade como razão entre escolhas favoráveis e escolhas totais:
\text{probabilidade}=\frac{\binom{7}{3}}{\binom{10}{3}}=\frac{35}{120}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 5:
\frac{35}{120}=\frac{7}{24}\approx 0,291666\ldots

Passo 6

(Verificação por outro método — interpretação em termos de eventos sequenciais, para fixar a ideia) Podemos também pensar nas escolhas uma a uma, sem reposição:
  • Probabilidade da primeira escolhida não ter olhos azuis: \dfrac{7}{10}.
  • Dado que a primeira não teve olhos azuis, restam 6 sem olhos azuis entre 9 alunas: probabilidade da segunda não ter olhos azuis: \dfrac{6}{9}.
  • Dado que as duas primeiras não tinham olhos azuis, restam 5 sem olhos azuis entre 8 alunas: probabilidade da terceira não ter olhos azuis: \dfrac{5}{8}.
    Multiplicando:
\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}\cdot\frac{5}{8}=\frac{7\cdot6\cdot5}{10\cdot9\cdot8}=\frac{210}{720}=\frac{7}{24},
o que confirma o resultado anterior.

Passo 7

Interpretação final curta e incentivo: a chance de, ao escolher 3 alunas aleatoriamente, nenhuma ter olhos azuis é \dfrac{7}{24}, ou cerca de 29{,}17\%. Vai dar certo na prova — memorize a ideia: contar casos favoráveis sobre casos possíveis com combinação, ou multiplicar probabilidades em etapas sem reposição.

Resposta

\dfrac{7}{24}

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