Dez estudantes se candidatam para uma comissão de 3 membros. Os membros são escolhidos aleatoriamente, qual a probabilidade de A e B, entre os dez estudantes, pertencer à comissão?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 10 estudantes ao todo.
  • Vai-se escolher uma comissão de 3 membros, escolhidos aleatoriamente (sem ordem).
  • Dois desses estudantes são chamados de A e B.
O que o enunciado pede:
  • A probabilidade de que A e B pertençam ambos à comissão de 3 membros.

Passo 2

Estratégia escolhida (contagem): calcular a probabilidade como
\text{Probabilidade}=\frac{\text{número de comissões favoráveis}}{\text{número total de comissões}}.úõáúõ
Para contar comissões usamos combinações. A fórmula da combinação é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n\times(n-1)\times\cdots\times1. A combinação \binom{n}{k} conta de quantas maneiras podemos escolher k objetos distintos dentre n sem considerar ordem.

Passo 3

Contagem do total de comissões possíveis: precisamos escolher 3 pessoas dentre 10, então
\text{total}=\binom{10}{3}.
Calculemos \binom{10}{3} passo a passo:
\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7!}{(3\cdot2\cdot1)\,7!}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificando:
\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{10\cdot9\cdot8}{6}=10\cdot9\cdot\frac{8}{6}=10\cdot9\cdot\frac{4}{3}=10\cdot3\cdot4=120.
Portanto \text{total}=120.

Passo 4

Contagem das comissões favoráveis (que contêm tanto A quanto B): se A e B já estão na comissão, falta escolher 1 pessoa dentre os 8 restantes. Então
\text{favoráveis}=\binom{8}{1}=8.á
Explicação em palavras: fixando A e B, qualquer uma das outras 8 pessoas pode ocupar o terceiro lugar.

Passo 5

Cálculo da probabilidade usando as contagens:
\text{Probabilidade}=\frac{\text{favoráveis}}{\text{total}}=\frac{8}{120}.á
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 8:
\frac{8}{120}=\frac{1}{15}.

Passo 6

Verificação alternativa (probabilidade condicional e sequência intuitiva): escolher a comissão “sequencialmente” sem ordem é apenas um raciocínio auxiliar. A probabilidade de que A esteja na comissão é \dfrac{3}{10} (há 3 vagas dentre 10 pessoas). Dado que A entrou, restam 2 vagas e 9 pessoas, então a probabilidade de B também entrar é \dfrac{2}{9}. Multiplicando:
\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15},
o que bate com o resultado por contagem.

Passo 7

Conclusão e incentivo: a probabilidade de A e B serem ambos escolhidos é \dfrac{1}{15}. Ótimo trabalho por chegar até aqui — essa questão é um clássico de combinações e a técnica de contar favoráveis/total ou usar probabilidade condicional funciona sempre que se escolhe subconjuntos sem ordem.

Resposta

\dfrac{1}{15}

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