Dez estudantes se candidatam para uma comissão de 3 membros. Os membros são escolhidos aleatoriamente, qual a probabilidade de A e B, entre os dez estudantes, pertencer à comissão?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
estudantes ao todo. - Vai-se escolher uma comissão de
membros, escolhidos aleatoriamente (sem ordem). - Dois desses estudantes são chamados de
e .
O que o enunciado pede:
- A probabilidade de que
e pertençam ambos à comissão de membros.
Passo 2
Estratégia escolhida (contagem): calcular a probabilidade como
Para contar comissões usamos combinações. A fórmula da combinação é
onde
(fatorial de
) é
. A combinação
conta de quantas maneiras podemos escolher
objetos distintos dentre
sem considerar ordem.
Passo 3
Contagem do total de comissões possíveis: precisamos escolher
pessoas dentre
, então
Calculemos
passo a passo:
Agora simplificando:
Portanto
.
Passo 4
Contagem das comissões favoráveis (que contêm tanto
quanto
): se
e
já estão na comissão, falta escolher
pessoa dentre os
restantes. Então
Explicação em palavras: fixando
e
, qualquer uma das outras
pessoas pode ocupar o terceiro lugar.
Passo 5
Cálculo da probabilidade usando as contagens:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Verificação alternativa (probabilidade condicional e sequência intuitiva): escolher a comissão “sequencialmente” sem ordem é apenas um raciocínio auxiliar. A probabilidade de que
esteja na comissão é
(há 3 vagas dentre 10 pessoas). Dado que
entrou, restam
vagas e
pessoas, então a probabilidade de
também entrar é
. Multiplicando:
o que bate com o resultado por contagem.
Passo 7
Conclusão e incentivo: a probabilidade de
e
serem ambos escolhidos é
. Ótimo trabalho por chegar até aqui — essa questão é um clássico de combinações e a técnica de contar favoráveis/total ou usar probabilidade condicional funciona sempre que se escolhe subconjuntos sem ordem.