(Ex 5.12) Duas placas condutoras idênticas, cada uma tendo área A, estão posicionadas em z=0 ez=d. A região entre as placas está preenchida com um material que possui uma condutividade dependente de z, sigma(z)=sigma0 e^-z / d, onde sigma0 é uma constante. Uma tensão V0 é aplicada à placa em z=d. A placa em z =0 está no potencial zero. Calcule, considerando os parâmetros dados:
© a intensidade de campo elétrico E dentro do material.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas placas condutoras idênticas, cada uma com área $ A $, posicionadas nas posições $ z = 0 $ e $ z = d $ no eixo $ z $. Entre elas, há um material com condutividade que varia com $ z $, dada por $ \sigma(z) = \sigma_0 e^{-z/d} $, onde $ \sigma_0 $ é uma constante. Uma tensão $ V_0 $ é aplicada na placa em $ z = d $, e a placa em $ z = 0 $ está no potencial zero. Queremos calcular a intensidade do campo elétrico $ E $ dentro desse material. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, como a relação entre campo elétrico, densidade de corrente e condutividade elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Ohm para materiais com condutividade variável. A densidade de corrente $ J(z) $ em um ponto $ z $ é dada por:
J(z)
Isso relaciona a densidade de corrente $ J $, a condutividade $ \sigma(z) $ e o campo elétrico $ E(z) $.

Passo 3

Como a corrente elétrica deve ser constante ao longo do material (não há acúmulo de carga), $ J(z) $ é a mesma em qualquer ponto entre as placas. Isso significa que:
J(z)
Então, podemos escrever:
dJ(z)dz = 0 implies J(z) = constante

Passo 4

Substituindo a expressão da condutividade $ \sigma(z) = \sigma_0 e^{-z/d} $ na equação do campo elétrico:
sigma(z) = sigma0 e^-z/d
Agora, nosso objetivo é encontrar a constante $ J $.

Passo 5

Para encontrar $ J $, vamos usar a relação entre a tensão aplicada $ V_0 $ e o campo elétrico. A tensão é a integral do campo elétrico ao longo da distância entre as placas:
J
Vamos calcular essa integral.

Passo 6

Calculando a integral:
V0 = Jsigma0 integral0^d e^z/d , dz = Jsigma0 [ d e^z/d ]0^d = J dsigma0 ( e^1 - 1 ) = J dsigma0 (e - 1)
Onde $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.

Passo 7

Agora, resolvemos para $ J $:
J
Com isso, temos a expressão para a densidade de corrente $ J $.

Passo 8

Finalmente, substituímos $ J $ de volta na equação do campo elétrico:
J

Resposta

A intensidade do campo elétrico dentro do material é:
E(z) = V0d (e - 1) , e^z/d

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