(Ex 5.12) Duas placas condutoras idênticas, cada uma tendo área
, estão posicionadas em
. A região entre as placas está preenchida com um material que possui uma condutividade dependente de
, onde
é uma constante. Uma tensão
é aplicada à placa em
. A placa em z
está no potencial zero. Calcule, considerando os parâmetros dados:
© a intensidade de campo elétrico
dentro do material.
© a intensidade de campo elétrico
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas placas condutoras idênticas, cada uma com área $ A $, posicionadas nas posições $ z = 0 $ e $ z = d $ no eixo $ z $. Entre elas, há um material com condutividade que varia com $ z $, dada por $ \sigma(z) = \sigma_0 e^{-z/d} $, onde $ \sigma_0 $ é uma constante. Uma tensão $ V_0 $ é aplicada na placa em $ z = d $, e a placa em $ z = 0 $ está no potencial zero. Queremos calcular a intensidade do campo elétrico $ E $ dentro desse material. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, como a relação entre campo elétrico, densidade de corrente e condutividade elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Ohm para materiais com condutividade variável. A densidade de corrente $ J(z) $ em um ponto $ z $ é dada por:
Isso relaciona a densidade de corrente $ J $, a condutividade $ \sigma(z) $ e o campo elétrico $ E(z) $.
Passo 3
Como a corrente elétrica deve ser constante ao longo do material (não há acúmulo de carga), $ J(z) $ é a mesma em qualquer ponto entre as placas. Isso significa que:
Então, podemos escrever:
Passo 4
Substituindo a expressão da condutividade $ \sigma(z) = \sigma_0 e^{-z/d} $ na equação do campo elétrico:
Agora, nosso objetivo é encontrar a constante $ J $.
Passo 5
Para encontrar $ J $, vamos usar a relação entre a tensão aplicada $ V_0 $ e o campo elétrico. A tensão é a integral do campo elétrico ao longo da distância entre as placas:
Vamos calcular essa integral.
Passo 6
Calculando a integral:
Onde $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.
Passo 7
Agora, resolvemos para $ J $:
Com isso, temos a expressão para a densidade de corrente $ J $.
Passo 8
Finalmente, substituímos $ J $ de volta na equação do campo elétrico:
Resposta
A intensidade do campo elétrico dentro do material é: