(Ex 5.10) Uma arruela de latão tem diâmetro interno de 2 cm , diâmetro externo de 5 cm e espessura igual a 0,5 cm. Sua condutividade é sigma=1,5 times 10^7 S / m. A arruela é cortada ao meio, ao longo do diâmetro, e uma tensão é aplicada entre as duas faces retangulares de uma das partes cortadas. O campo elétrico resultante, no interior da arruela cortada ao meio, é E=(0,5 / rho) avarphi V / m, em coordenadas cilíndricas, onde o eixo z corresponde ao eixo da arruela.
(b) Qual corrente total está fluindo na arruela?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma arruela de latão com diâmetros interno e externo de 2 cm e 5 cm, respectivamente, e uma espessura de 0,5 cm. A condutividade elétrica dela é sigma = 1,5 times 10^7 , S/m. A arruela foi cortada ao meio e uma tensão foi aplicada entre as duas faces retangulares. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a corrente total que está fluindo nessa arruela cortada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos elétricos e corrente elétrica em materiais condutores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica I em um material condutor está relacionada ao campo elétrico E e à condutividade sigma pela relação:
J = sigma E
onde J é a densidade de corrente elétrica.

Passo 3

O enunciado nos fornece o campo elétrico na arruela cortada:
E = ( 0,5rho ) avarphi , V/m
Aqui, rho é a coordenada radial em coordenadas cilíndricas, e avarphi é o vetor unitário na direção azimutal. Isso significa que o campo elétrico está variando com a distância radial e está na direção tangencial da arruela.

Passo 4

Agora, vamos calcular a densidade de corrente elétrica J usando a relação mencionada:
J = sigma E = sigma ( 0,5rho ) avarphi
Substituindo o valor de sigma:
J = 1,5 times 10^7 times 0,5rho avarphi = 7,5 times 10^6rho avarphi , A/m^2

Passo 5

Para encontrar a corrente total I, precisamos integrar a densidade de corrente sobre a área da arruela cortada. Como a arruela foi cortada ao meio, a área a considerar está entre rho = 1 , cm e rho = 2,5 , cm. Vamos converter as medidas para metros:
rhointerna = 0,02 , m, rhoexterna = 0,025 , m

Passo 6

A corrente total I é dada por:
I = integral J cdot dA
Como J está na direção avarphi e a área diferencial dA para a integração em coordenadas cilíndricas é radial, a direção do vetor área será arho. Porém, como estão perpendiculares, o produto escalar simplifica para apenas a magnitude:
I = integral0^h integralrhointerna^rhoexterna Jvarphi , rho , drho , dvarphi
onde h é a espessura da arruela.

Passo 7

Substituindo Jvarphi e integrando sobre varphi de 0 a pi (já que a arruela foi cortada ao meio):
I = integral0^0,005 integral0,02^0,025 7,5 times 10^6rho , rho , drho , dvarphi
Simplificando 7,5 times 10^6rho times rho = 7,5 times 10^6:
I = 7,5 times 10^6 integral0^0,005 integral0,02^0,025 drho , dvarphi

Passo 8

Agora, realizamos as integrações:
Primeiro, integração em rho:
integral0,02^0,025 drho = 0,025 - 0,02 = 0,005 , m
Em seguida, integração em varphi de 0 a pi:
integral0^pi dvarphi = pi
Portanto:
I = 7,5 times 10^6 times 0,005 times pi = 7,5 times 10^6 times 0,005 pi

Passo 9

Calculando os valores numéricos:
I = 7,5 times 10^6 times 0,005 times 3,1416 approx 7,5 times 10^6 times 0,015708 approx 1,1781 times 10^5 , A

Resposta

A corrente total que está fluindo na arruela é aproximadamente 1,18 times 10^5 , A.

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