(Ex 5.10) Uma arruela de latão tem diâmetro interno de 2 cm , diâmetro externo de 5 cm e espessura igual a
. Sua condutividade é
. A arruela é cortada ao meio, ao longo do diâmetro, e uma tensão é aplicada entre as duas faces retangulares de uma das partes cortadas. O campo elétrico resultante, no interior da arruela cortada ao meio, é
, em coordenadas cilíndricas, onde o eixo z corresponde ao eixo da arruela.
(b) Qual corrente total está fluindo na arruela?
(b) Qual corrente total está fluindo na arruela?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma arruela de latão com diâmetros interno e externo de 2 cm e 5 cm, respectivamente, e uma espessura de 0,5 cm. A condutividade elétrica dela é
. A arruela foi cortada ao meio e uma tensão foi aplicada entre as duas faces retangulares. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a corrente total que está fluindo nessa arruela cortada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos elétricos e corrente elétrica em materiais condutores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica
em um material condutor está relacionada ao campo elétrico
e à condutividade
pela relação:
onde
é a densidade de corrente elétrica.
Passo 3
O enunciado nos fornece o campo elétrico na arruela cortada:
Aqui,
é a coordenada radial em coordenadas cilíndricas, e
é o vetor unitário na direção azimutal. Isso significa que o campo elétrico está variando com a distância radial e está na direção tangencial da arruela.
Passo 4
Agora, vamos calcular a densidade de corrente elétrica
usando a relação mencionada:
Substituindo o valor de
:
Passo 5
Para encontrar a corrente total
, precisamos integrar a densidade de corrente sobre a área da arruela cortada. Como a arruela foi cortada ao meio, a área a considerar está entre
e
. Vamos converter as medidas para metros:
Passo 6
A corrente total
é dada por:
Como
está na direção
e a área diferencial
para a integração em coordenadas cilíndricas é radial, a direção do vetor área será
. Porém, como estão perpendiculares, o produto escalar simplifica para apenas a magnitude:
onde
é a espessura da arruela.
Passo 7
Substituindo
e integrando sobre
de
a
(já que a arruela foi cortada ao meio):
Simplificando
:
Passo 8
Agora, realizamos as integrações:
Primeiro, integração em
:
Em seguida, integração em
de
a
:
Portanto:
Passo 9
Calculando os valores numéricos:
Resposta
A corrente total que está fluindo na arruela é aproximadamente
.