(Ex 5.10) Uma arruela de latão tem diâmetro interno de 2 cm , diâmetro externo de 5 cm e espessura igual a 0,5 cm. Sua condutividade é sigma=1,5 times 10^7 S / m. A arruela é cortada ao meio, ao longo do diâmetro, e uma tensão é aplicada entre as duas faces retangulares de uma das partes cortadas. O campo elétrico resultante, no interior da arruela cortada ao meio, é E=(0,5 / rho) avarphi V / m, em coordenadas cilíndricas, onde o eixo z corresponde ao eixo da arruela.
© Qual é a resistência entre as duas faces?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma arruela de latão com diâmetro interno de 2 cm, diâmetro externo de 5 cm, espessura de 0,5 cm e condutividade elétrica de $ \sigma = 1,5 \times 10^{7} , S/m $. A arruela é cortada ao meio ao longo do diâmetro, e uma tensão é aplicada entre as duas faces retangulares resultantes. O campo elétrico no interior da arruela cortada é dado por $ \mathbf{E} = \left( \frac{0,5}{\rho} \right) \mathbf{a}{\varphi} , V/m $, onde $ \rho $ é a coordenada radial em sistema cilíndrico e $ \mathbf{a}{\varphi} $ é o vetor unitário na direção azimutal. Queremos encontrar a resistência elétrica entre as duas faces cortadas da arruela.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de eletricidade como campo elétrico, densidade de corrente e resistência elétrica, além de aplicar fórmulas da geometria cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a resistência elétrica $ R $ pode ser calculada usando a relação $ R = \frac{V}{I} $, onde $ V $ é a tensão aplicada e $ I $ é a corrente que passa pelo material. Nosso objetivo é encontrar essa resistência $ R $.

Passo 3

Sabemos que a densidade de corrente $ \mathbf{J} $ está relacionada ao campo elétrico $ \mathbf{E} $ pela fórmula:
J
Onde $ \sigma $ é a condutividade elétrica do material. Vamos calcular $ \mathbf{J} $ usando o campo elétrico fornecido:
E

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a corrente total $ I $ que passa pelas duas faces cortadas da arruela. Para isso, vamos integrar a densidade de corrente $ \mathbf{J} $ sobre a área através da qual a corrente está fluindo.
Como o campo elétrico está na direção azimutal $ \mathbf{a}_{\varphi} $, a corrente também fluirá nessa direção. A área diferencial em coordenadas cilíndricas é $ dA = \rho , d\phi , dz $. No entanto, como a arruela é cortada ao meio e a tensão é aplicada nas faces retangulares, a corrente flui ao longo da espessura $ t $ da arruela.
Portanto, a corrente total $ I $ é dada por:
I
Onde:
  • $ a = \frac{D_i}{2} = 1 , cm $
  • $ b = \frac{D_e}{2} = 2,5 , cm $
  • $ t = 0,5 , cm $

Passo 5

Simplificando a integral:
I = 0,5 sigma t integral0^pi integral1^2,5 drho , dphi
Primeiro, integramos em relação a $ \rho $:
rho
Depois, integramos em relação a $ \phi $:
integral1^2,5 drho = 2,5 - 1 = 1,5 , cm
Então, a corrente total $ I $ é:
phi
Convertendo as unidades de cm para m:
integral0^pi dphi = pi
Substituindo os valores:
I
Calculando:
I = 0,5 sigma t times 1,5 , cm times pi

Passo 6

Agora que temos a corrente $ I $, podemos encontrar a resistência $ R $ usando a relação $ R = \frac{V}{I} $. Porém, a tensão $ V $ não foi fornecida diretamente. Observando o campo elétrico fornecido, podemos relacionar a tensão com o campo.
A tensão $ V $ aplicada entre as duas faces é relacionada ao campo elétrico pela integração ao longo do caminho da espessura $ t $:
I
Entretanto, como o campo depende de $ \rho $, precisamos escolher um valor característico para $ \rho $. Uma abordagem simplificada é considerar o valor médio de $ \rho $ no caminho da corrente, que é $ \rho_{m} = \frac{a + b}{2} = \frac{1 + 2,5}{2} = 1,75 , cm = 0,0175 , m $.
Então, a tensão $ V $ é aproximadamente:
R

Resposta

A resistência entre as duas faces cortadas da arruela é aproximadamente $ R \approx 0,016 , \Omega $.

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