(Ex 5.12) Duas placas condutoras idênticas, cada uma tendo área A, estão posicionadas em z=0 ez=d. A região entre as placas está preenchida com um material que possui uma condutividade dependente de z, sigma(z)=sigma0 e^-z / d, onde sigma0 é uma constante. Uma tensão V0 é aplicada à placa em z=d. A placa em z =0 está no potencial zero. Calcule, considerando os parâmetros dados:
(b) a corrente total que flui entre as placas;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletromagnetismo! O que temos aqui são duas placas condutoras idênticas com área A, separadas por uma distância d. Entre elas, há um material cuja condutividade sigma(z) varia com a posição z conforme sigma(z) = sigma0 e^-z / d. Uma tensão V0 é aplicada na placa em z = d, enquanto a placa em z = 0 está no potencial zero. Nosso objetivo é calcular a corrente total que flui entre essas placas. Para isso, vamos usar conceitos de corrente elétrica em materiais com condutividade variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica I em um material condutor é dada pela integral da densidade de corrente J sobre a área A. Ou seja,
I = integral J cdot dA
No nosso caso, a corrente flui na direção do eixo z, então podemos simplificar para:
I = integral J(z) , A , dz

Passo 3

A densidade de corrente J está relacionada ao campo elétrico E e à condutividade sigma(z) pela relação de Ohm:
J = sigma(z) E
Como a tensão varia ao longo de z, o campo elétrico também depende de z. Sabemos que:
E(z) = -dVdz

Passo 4

Integrando a relação do campo elétrico, a diferença de potencial V0 entre as placas pode ser expressa como:
V0 = integral0^d E(z) , dz
Substituindo E(z), temos:
V0 = -integral0^d dVdz , dz = V(d) - V(0) = V0
Isso confirma que a tensão aplicada é distribuída ao longo da distância d.

Passo 5

Voltando à expressão da corrente, substituímos J:
I = integral0^d sigma(z) E(z) A , dz
Sabemos que E(z) = V0d se a condutividade fosse constante, mas aqui ela varia com z. Precisamos relacionar sigma(z) e E(z) de forma mais precisa.

Passo 6

Como a corrente I é constante ao longo das placas, podemos relacionar sigma(z) e E(z) pela continuidade da corrente:
I = sigma(z) E(z) A
Isolando E(z):
E(z) = Isigma(z) A

Passo 7

Substituímos E(z) na expressão da tensão V0:
V0 = integral0^d E(z) , dz = integral0^d Isigma(z) A , dz
Substituindo sigma(z) = sigma0 e^-z / d:
V0 = Isigma0 A integral0^d e^z / d , dz

Passo 8

Calculamos a integral:
integral0^d e^z / d , dz = d (e^1 - 1) = d (e - 1)
Portanto:
V0 = Isigma0 A cdot d (e - 1)

Passo 9

Isolamos a corrente I:
I = V0 sigma0 Ad (e - 1)

Resposta

A corrente total que flui entre as placas é
I = V0 sigma0 Ad (e - 1)

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