(Ex 5.12) Duas placas condutoras idênticas, cada uma tendo área
, estão posicionadas em
. A região entre as placas está preenchida com um material que possui uma condutividade dependente de
, onde
é uma constante. Uma tensão
é aplicada à placa em
. A placa em z
está no potencial zero. Calcule, considerando os parâmetros dados:
(b) a corrente total que flui entre as placas;
(b) a corrente total que flui entre as placas;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletromagnetismo! O que temos aqui são duas placas condutoras idênticas com área
, separadas por uma distância
. Entre elas, há um material cuja condutividade
varia com a posição
conforme
. Uma tensão
é aplicada na placa em
, enquanto a placa em
está no potencial zero. Nosso objetivo é calcular a corrente total que flui entre essas placas. Para isso, vamos usar conceitos de corrente elétrica em materiais com condutividade variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica
em um material condutor é dada pela integral da densidade de corrente
sobre a área
. Ou seja,
No nosso caso, a corrente flui na direção do eixo
, então podemos simplificar para:
Passo 3
A densidade de corrente
está relacionada ao campo elétrico
e à condutividade
pela relação de Ohm:
Como a tensão varia ao longo de
, o campo elétrico também depende de
. Sabemos que:
Passo 4
Integrando a relação do campo elétrico, a diferença de potencial
entre as placas pode ser expressa como:
Substituindo
, temos:
Isso confirma que a tensão aplicada é distribuída ao longo da distância
.
Passo 5
Voltando à expressão da corrente, substituímos
:
Sabemos que
se a condutividade fosse constante, mas aqui ela varia com
. Precisamos relacionar
e
de forma mais precisa.
Passo 6
Como a corrente
é constante ao longo das placas, podemos relacionar
e
pela continuidade da corrente:
Isolando
:
Passo 7
Substituímos
na expressão da tensão
:
Substituindo
:
Passo 8
Calculamos a integral:
Portanto:
Passo 9
Isolamos a corrente
:
Resposta
A corrente total que flui entre as placas é