10- Uma bola é projetada com velocidade inicial de 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, fazendo um ângulo de 37^{\circ} \mathrm{com} a horizontal (a) Achar o tempo total de permanência da bola no ar e a distância horizontal total que ela percorre, adotando como aproximação \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. (b) A bola é projetada com a mesma velocidade inicial mencionada, mas da borda de um penhasco, 55 m acima do solo horizontal. Em que posição a bola atinge o solo?

Passo 1

O enunciado trata de lançamento oblíquo de uma bola com velocidade inicial \,v_0=50\text{ m/s}\, e ângulo \,\theta=37^\circ em dois cenários: (a) lançamento sobre terreno horizontal e (b) lançamento a partir de um penhasco de 55\text{ m} de altura. Para resolver precisamos usar decomposição vetorial da velocidade em direções horizontal e vertical, as equações do movimento uniformemente variado na vertical ( y) e do movimento uniforme na horizontal ( x), além de resolver equação quadrática no caso do penhasco.

Passo 2

Decompondo a velocidade inicial nas componentes:
v_{0x} = v_0\cos\theta,\qquad v_{0y} = v_0\sin\theta.
Como \cos37^\circ\approx0,8 e \sin37^\circ\approx0,6, temos
v_{0x} = 50\cdot0,8 = 40\text{ m/s},\qquad v_{0y} = 50\cdot0,6 = 30\text{ m/s}.

Passo 3

(a) No terreno horizontal a altura final é igual à inicial ( \Delta y=0). O tempo total de voo satisfaz
0 = v_{0y}t - \tfrac12\,g\,t^2 \quad\Longrightarrow\quad t\bigl(v_{0y}-\tfrac12\,g\,t\bigr)=0
descartando t=0 fica
t = \frac{2\,v_{0y}}{g} = \frac{2\cdot30}{10} = 6\text{ s}.
A distância horizontal total é
R = v_{0x}\,t = 40\cdot6 = 240\text{ m}.

Passo 4

(b) Agora o ponto de lançamento está a h=55\text{ m} acima do solo, de modo que a posição vertical em função do tempo é
y(t) = h + v_{0y}t - \tfrac12\,g\,t^2 = 55 + 30\,t - 5\,t^2.
Para encontrar o instante em que y=0 resolvemos
5\,t^2 - 30\,t - 55 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^2 - 6\,t - 11 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara
t = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 44}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5}.
A solução física (positiva) é
t = 3 + 2\sqrt{5}\approx 7{,}472\text{ s}.

Passo 5

A posição horizontal em que a bola atinge o solo é
x = v_{0x}\,t = 40\bigl(3 + 2\sqrt{5}\bigr) = 120 + 80\sqrt{5}\approx 298{,}9\text{ m}
medidos a partir da base do penhasco.

Resposta

(a) Tempo de voo t=6\text{ s}, alcance horizontal R=240\text{ m}.
(b) A colisão ocorre na posição horizontal
x = 40\bigl(3 + 2\sqrt{5}\bigr)\approx298{,}9\text{ m}
a partir do pé do penhasco.

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